Cho hình thang cân \(ABCD\) ( \(AB \parallel CD\), \(AB < CD\)). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\); gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh:

a) Tam giác \(AOB\) cân tại \(O\):
- Do \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD\) và \(BC\) cắt nhau tại \(O\). Vì \(AB \parallel CD\) và \(AB = CD\), nên góc \(OAB = OBA\). Do đó, tam giác \(AOB\) cân tại \(O\).

b) \(\Delta ABD = \Delta BAC\):
- Trong hình thang cân \(ABCD\), ta có:
\[
\angle ABD = \angle BAC \quad \text{(so le trong vì \(AB \parallel CD\))}.
\]
Hơn nữa, cạnh \(AB\) là cạnh chung, do đó, \(\Delta ABD = \Delta BAC\) (góc - cạnh - góc).

c) \(EC = ED\):
- Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên các đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(E\), đồng thời tạo ra hai tam giác \(\Delta AEC\) và \(\Delta BED\) cân tại \(E\).
Góc \(\angle AEC = \angle BED\) và cạnh chung \(EC = ED\), do đó \(EC = ED\).

d) \(OE\) là đường trung trực của cả đoạn thẳng \(AB\) và đoạn thẳng \(CD\):
- Ta đã chứng minh tam giác \(AOB\) cân tại \(O\), do đó \(OI\) là trung tuyến và đường trung trực của \(AB\).
- Tương tự, \(OE\) là đường trung tuyến và đường trung trực của \(CD\) do các góc đối và cạnh của hình thang cân \(ABCD\) tạo ra.

Vậy ta có \(OE\) là đường trung trực của cả đoạn thẳng \(AB\) và đoạn thẳng \(CD\).