1. **Tính tổng S tất cả các nghiệm của phương trình: 2sin(x) − 1 = 0 trên đoạn [-π/2; π/2]:**

2sin(x) − 1 = 0
⇔ sin(x) = 1/2
Trong đoạn [-π/2; π/2], nghiệm duy nhất của sin(x) = 1/2 là x = π/6.

Vậy tổng S các nghiệm là: **π/6**.
Đáp án đúng: **D. S = π/6**

2. **Số nghiệm trên đoạn [0; 2π] của phương trình sin(2x) − 2cos(x) = 0:**

sin(2x) − 2cos(x) = 0
⇔ 2sin(x)cos(x) - 2cos(x) = 0
⇔ 2cos(x)[sin(x) - 1] = 0
⇔ cos(x) = 0 hoặc sin(x) = 1.

- cos(x) = 0 có nghiệm x = π/2, 3π/2 trong [0; 2π].
- sin(x) = 1 có nghiệm x = π/2 trong [0; 2π].

Vậy phương trình có 3 nghiệm trong đoạn [0; 2π].

Đáp án đúng: **B. 3**

3. **Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sin(2x)cos(2x) + m − 1 = 0 có nghiệm:**

sin(2x)cos(2x) + m − 1 = 0
⇔ 1/2 * sin(4x) + m − 1 = 0 (vì sin(2A) = 2sin(A)cos(A))
⇔ 1/2 * sin(4x) = 1 - m
⇔ sin(4x) = 2(1 - m)

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: -1 ≤ 2(1 - m) ≤ 1
⇔ -1 ≤ 2 - 2m ≤ 1
⇔ -3 ≤ -2m ≤ -1
⇔ 1/2 ≤ m ≤ 1

Đáp án đúng: **A. 1/2 ≤ m ≤ 1, 1/2 ≤ m ≤ 3/2**

4. **Phương trình sin(2x) + 3cos(x) = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; 2020)?**

sin(2x) + 3cos(x) = 0
⇔ 2sin(x)cos(x) + 3cos(x) = 0
⇔ cos(x)[2sin(x) + 3] = 0
⇔ cos(x) = 0 hoặc sin(x) = -3/2 (loại vì giá trị |sin(x)| ≤ 1)

cos(x) = 0 có nghiệm x = π/2 + kπ, với k là số nguyên.

Trong khoảng (0; 2020):
π/2 + kπ < 2020
⇔ (1/2 + k)π < 2020
⇔ k < 2020/π - 1/2 ≈ 641.68

Do đó số nghiệm là 641 (k chạy từ 0 đến 640).

Đáp án đúng: **B. 641**

5. **Tìm số nghiệm của phương trình sin(cos(2x)) = 0 trên [0; 2π]:**

sin(cos(2x)) = 0
⇔ cos(2x) = kπ, k là số nguyên.

Giá trị cos(2x) nằm trong khoảng [-1, 1], nên nghiệm hợp lệ của cos(2x) = kπ chỉ có kπ = 0.

cos(2x) = 0
⇔ 2x = (2k+1)π/2
⇔ x = (2k+1)π/4, với 0 ≤ x ≤ 2π

Các giá trị của k hợp lệ trong khoảng [0; 2π]:
- x = π/4
- x = 3π/4
- x = 5π/4
- x = 7π/4

Vậy số nghiệm là 4.

Đáp án đúng: **C. 4**