Để tính thể tích của khối chóp \( S.ABC \), ta sử dụng công thức tính thể tích của khối chóp:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h
\]

Trong đó:
- \( S_{ABC} \) là diện tích đáy \( ABC \)
- \( h \) là chiều cao \( SA \)

1. **Tính chiều cao \( SA \)**:
- \( SA = 3a \)

2. **Tính diện tích đáy \( ABC \)**:
- \( AB = 3\alpha \), \( AC = 4\alpha \)
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) nên diện tích đáy là:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 3\alpha \cdot 4\alpha = 6\alpha^2
\]

3. **Tính thể tích \( V \)**:
- Thay các giá trị vào công thức:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6\alpha^2 \cdot 3a = \frac{1}{3} \cdot 18a\alpha^2 = 6a\alpha^2
\]

Kết quả, thể tích \( V \) của khối chóp \( S.ABC \) bằng:

\[
V = 6a^3
\]

Do đó, chọn đáp án **B: \( 6\alpha^3 \)**.