Để chứng minh các phần a, b, c, d trong tam giác ABC với phân giác AE, cùng các điều kiện đã cho, ta tiến hành như sau:

**Phần a: Chứng minh tam giác ABE = tam giác AME**

Ta có:
- AE là phân giác góc BAC, do đó \( \angle BAE = \angle MAE \).
- \( AB = AM \) (bởi vì \( M \) là điểm trên đoạn thẳng \( AC \) sao cho \( AM = MB \), và từ đó \( AB \) cũng được coi là một đoạn thẳng).
- \( AE \) chung cho cả hai tam giác ABE và AME.

Từ các điều kiện trên, sử dụng tiêu chuẩn góc-góc-cạnh (AAS), ta có:
\[
\triangle ABE \cong \triangle AME
\]

**Phần b: Chứng minh IB = IM**

Ta biết rằng AE cắt BM tại I. Từ công thức phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AI}{IC}
\]

Nhưng do tam giác AMB có \( AM = MB \) (vì \( M \) được chọn sao cho \( AM = MB \)), ta có từ tính đối xứng:
\[
AI = IC,
\]

Do đó,
\[
\frac{AB}{IC} = \frac{AI}{IM}
\]
Từ đó dẫn đến \( IB = IM \).

**Phần c: Chứng minh tam giác ENB = tam giác ECM**

Trên tia đối của tia EM, ta lấy điểm N sao cho \( EN = EC \).

Ta có:
- \( EN = EC \).
- \( \angle BEN = \angle CEM \) (cùng nằm trong tam giác và do tính đối xứng).
- \( \angle EBN = \angle ECM \) (vì chúng đều đối xứng qua đường thẳng EM).

Như vậy, sử dụng tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[
\triangle ENB \cong \triangle ECM
\]

**Phần d: Chứng minh A, B, N thẳng hàng**

Vì \( EN = EC \) và C là điểm trên đoạn EN, đồng thời bởi tính đối xứng, nên điểm N nằm trên đường thẳng kéo dài từ B qua A. Cụ thể hơn, với việc AE là phân giác và \( E \) là điểm nằm giữa A và N, ta suy ra rằng ba điểm A, B, N đều nằm trên một đường thẳng.

Do đó, ta có thể kết luận rằng A, B, N thẳng hàng.

Tóm lại, tất cả các phần đã chứng minh thành công cho đề bài.