Cho cặp đoạn thẳng song song AD, BC bị chắn bởi hai đường thẳng song song AB, CD. Qua giao điểm M của AC và BD, kẻ đường thẳng bất kì cắt AD, BC theo thứ tự ở K, E

Để chứng minh các tính chất trong bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý hội tụ của các đường thẳng song song và đồng dạng tam giác.

### Giả thuyết
- Cho hai đoạn thẳng song song \( AD \) và \( BC \).
- Hai đoạn thẳng song song khác \( AB \) và \( CD \) chắn giữa \( AD \) và \( BC \).
- \( M \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \).
- Đường thẳng cắt \( AD \) tại \( K \) và cắt \( BC \) tại \( E \).

### Chứng minh

#### a) Chứng minh rằng \( MA = MC \)
Ta có hai cặp cạnh song song \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \). Đường nối từ điểm \( A \) đến điểm \( M \) và đường nối từ điểm \( C \) đến điểm \( M \) tạo thành hai tam giác:

- Tam giác \( ABM \)
- Tam giác \( CDM \)

Do hai cặp đoạn thẳng song song, ta có:

\[
\frac{AM}{MB} = \frac{CM}{MD}
\]

Như vậy, từ đây suy ra rằng \( MA = MC \) theo định nghĩa của tỷ lệ đoạn thẳng của hai tam giác đồng dạng (do có điều kiện là các cạnh tương ứng của chúng song song).

#### b) Chứng minh rằng \( MK = ME \)
Tiếp tục từ giả thiết ban đầu, đường thẳng đi qua điểm \( M \) cắt \( AD \) tại \( K \) và \( BC \) tại \( E \).

Do tính chất của hình học song song, ta có hai tam giác:

- Tam giác \( AMK \)
- Tam giác \( CMF \) (trong đó \( F \) là điểm cắt của đường thẳng \( ME \) với đường thẳng kéo dài của \( AB \))

Tương tự như trên, do có hai cặp đoạn thẳng song song, ta có:

\[
\frac{MK}{KA} = \frac{ME}{EC}
\]

Vì \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \), hai tam giác \( AMK \) và \( CME \) cũng đồng dạng.

Kết luận:
- Từ tính chất đồng dạng của các tam giác, và vì \( K \) và \( E \) nằm trên các đoạn thẳng song song, chúng ta rút ra được rằng \( MK = ME \).

Do vậy, ta đã chứng minh được hai điều cần chứng minh:

- \( MA = MC \)
- \( MK = ME \)

Xong!