Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras và những tính chất của tam giác vuông.

### Bài toán:
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB ⊥ AC), với AB = 12 cm, BC = 15 cm. Tìm AC và độ dài AM là đường trung trực của đoạn BC.

### 1. Tính AC:
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABC:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
\[ 15^2 = 12^2 + AC^2 \]

Tính từng phần:
\[ 225 = 144 + AC^2 \]
\[ AC^2 = 225 - 144 = 81 \]
\[ AC = \sqrt{81} = 9 \, \text{cm} \]

### 2. Tính độ dài AM:
AM là đường trung trực của đoạn BC. Đoạn BC có độ dài là 15 cm, nên:

- Hạ đứng AM từ A đến BC tại M, và M là trung điểm của BC.
- Đoạn BM và MC có độ dài bằng nhau, nên:
\[ BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \, \text{cm} \]

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABM:
\[ AB^2 = AM^2 + BM^2 \]
\[ 12^2 = AM^2 + 7.5^2 \]
\[ 144 = AM^2 + 56.25 \]
\[ AM^2 = 144 - 56.25 = 87.75 \]
\[ AM = \sqrt{87.75} \approx 9.36 \, \text{cm} \]

### Kết quả:
- AC = 9 cm
- AM ≈ 9.36 cm