Để tính giá trị lớn nhất của \( x^6 + y^6 \) với điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \), đầu tiên, chúng ta có thể sử dụng biến đổi từ \( x^2 \) và \( y^2 \).

Gọi:
\[ a = x^2 \]
\[ b = y^2 \]

Theo điều kiện \( a + b = 1 \). Ta cần tìm \( a^3 + b^3 \) vì:
\[ x^6 + y^6 = (x^2)^3 + (y^2)^3 = a^3 + b^3 \]

Áp dụng công thức:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

Biểu thức \( a^2 + b^2 \) có thể tính bằng:
\[ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 1^2 - 2ab = 1 - 2ab \]

Do đó:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)((a^2 + b^2) - ab) = 1 \cdot ((1 - 2ab) - ab) = 1 - 3ab \]

Vậy nên, \( a^3 + b^3 = 1 - 3ab \).

Để tìm giá trị tối đa của \( a^3 + b^3 \), ta cần tối thiểu hóa giá trị của \( ab \). Theo bất đẳng thức AM-GM, ta biết rằng \( ab \leq \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 \).

Thay \( a + b = 1 \) vào ta có:
\[
ab \leq \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}
\]

Giá trị tối thiểu của \( ab \) bằng 0 sẽ đạt được khi một trong hai biến \( x^2 \) hoặc \( y^2 \) bằng 1 và biến kia bằng 0 (tức là \( x = 1, y = 0 \) hoặc \( x = 0, y = 1 \)).

Khi \( ab = 0 \):
\[
a^3 + b^3 = 1 - 3 \cdot 0 = 1
\]

Do đó, giá trị lớn nhất của \( x^6 + y^6 \) là:
\[
\boxed{1}
\]