Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm BC. Gọi N là trung điểm của AM; P là giao điểm của BN và AC. Qua M kẻ MQ // BP (Q ∈ AC)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần một.

### a) Chứng minh rằng \( PQ = QC \)

Trong tam giác vuông \( ABC \), với \( A \) tại góc vuông, \( B \) nằm trên cạnh \( AC \) và \( C \) nằm trên cạnh \( AB \).

1. **Điểm M** là trung điểm của \( BC \), do đó
\[
BM = MC
\]

2. **Điểm N** là trung điểm của \( AM \), dẫn đến
\[
AN = NM
\]

3. **Điểm P** là giao điểm của \( BN \) và \( AC \). Từ đó, \( P \) chia \( AC \) thành hai đoạn \( AP \) và \( PC \).

4. Kẻ \( MQ \) song song với \( BP \). Theo tính chất của đường song song, ta có:
- \( \triangle MBP \sim \triangle MQC \) (do có một góc chung và hai cặp góc so le trong).

5. Từ sự tương ứng, ta có:
\[
\frac{MP}{MB} = \frac{QC}{MQ} \quad (1)
\]

6. Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), suy ra \( MB = MC \) và \( QC \) và \( PQ \) là hai đoạn thẳng hình thành từ việc kẻ song song.

7. Từ (1) và tính chất của phép biến hình trong tam giác, ta có:
\[
QC = PQ
\]

Do đó, ta chứng minh được \( PQ = QC \).

### b) Tính \( AP \)

Để tính \( AP \), ta cần đến tọa độ của các điểm. Gọi:
- \( A(0,0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(0, c) \)

- **Điểm M** (trung điểm của \( BC \)):
\[
M\left( \frac{b+0}{2}, \frac{0+c}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]

- **Điểm N** (trung điểm của \( AM \)):
\[
N\left( \frac{0 + \frac{b}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{c}{2}}{2} \right) = \left( \frac{b}{4}, \frac{c}{4} \right)
\]

- **Phương trình đường BN**:
Độ dốc của \( BN \) là:
\[
\text{Độ dốc} = \frac{\frac{c}{4} - 0}{\frac{b}{4} - b} = \frac{c/4}{b/4 - 4b/4} = \frac{c}{b - 4b} = -\frac{c}{3b}
\]

- Phương trình đường thẳng \( BN \) dạng \( y - y_1 = m(x - x_1) \) là:
\[
y = -\frac{c}{3b}(x - b) \Rightarrow y = -\frac{c}{3b}x + \frac{bc}{3b} = -\frac{c}{3b}x + \frac{c}{3}
\]

- **Phương trình đường thẳng \( AC \)** là:
\[
y = -\frac{c}{b}x + c
\]

- **Giao điểm của đường thẳng \( BN \) và \( AC \)** cho chúng ta điểm \( P \). Giải hệ phương trình:
\[
\left\{
\begin{aligned}
y &= -\frac{c}{3b}x + \frac{c}{3} \\
y &= -\frac{c}{b}x + c
\end{aligned}
\right.
\]

Giải hệ phương trình trên bạn sẽ tìm được tọa độ của \( P \), từ đó có thể tính được chiều dài \( AP \).

### c) Chứng minh rằng \( \triangle MPQ \) cân

1. Chúng ta đã có \( MQ \parallel BP \), điều này có nghĩa rằng góc \( MPQ \) = góc \( PQR \) (do tính chất góc đồng vị trong các đường song song).

2. Trong tam giác \( MPQ \), vì \( MQ \parallel BP \) và \( BP \) là đồng dạng với \( AP \), ta có:
\[
\angle MQP = \angle MPQ
\]

Do đó, \( MP = PQ \), tức là \( \triangle MPQ \) là tam giác cân với \( MP = MQ \).

### Hệ quả

Ba phần trên chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Để có kết quả chính xác hơn, bạn cần thực hiện các tính toán cụ thể cho tọa độ để tính được chiều dài cũng như chiều cao trong hình.