Để giải bài toán này, ta sẽ tìm giới hạn \( L_n = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{9n^4 + 4n} + \sqrt{4n^4 + 3n + an + b} \right) \).

Bước 1: Rút gọn các biểu thức dưới căn.

Khi \( n \to \infty \), ta thấy rằng các thành phần bậc cao trong các căn sẽ chiếm ưu thế hơn. Vì vậy, ta sẽ làm như sau:

\[
L_n = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{9n^4(1 + \frac{4}{9n^3})} + \sqrt{4n^4(1 + \frac{3}{4n^3} + \frac{a}{4n^2} + \frac{b}{4n^4})} \right)
\]

Bước 2: Rút gọn tiếp

\[
= \lim_{n \to \infty} \left( 3n^2\sqrt{1 + \frac{4}{9n^3}} + 2n^2\sqrt{1 + \frac{3}{4n^3} + \frac{a}{4n^2} + \frac{b}{4n^4}} \right)
\]

Khi \( n \) tiến tới vô cùng, các thành phần như \(\frac{1}{n^k}\) sẽ tiến tới 0:

\[
= 3n^2 + 2n^2 = 5n^2
\]

Bước 3: Chia cho \( n^2 \)

\[
L = \lim_{n \to \infty} \left( 5 + \text{thành phần bậc thấp} \right) = 5
\]

Bây giờ ta biết rằng \( L = \frac{19}{12} \) gán cho \( a^2 + \frac{1}{b} \):

\[
5 \cdot \frac{19}{12} = a^2 + \frac{1}{b}
\]

Cuối cùng, ta có thể lựa chọn giá trị cho \( a \) và \( b \).

Tùy theo các phương án (A, B, C, D) để tìm ra câu trả lời chính xác cho \( a^2 + \frac{1}{b} \).