Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng: (a + b)^2 + (a + b)/2 ≥ 2a√b + 2b√a

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
(a + b)^2 + \frac{(a + b)}{2} \geq 2a\sqrt{b} + 2b\sqrt{a}
\]

có thể bắt đầu bằng việc phân tích các thành phần trong bất đẳng thức này.

Bắt đầu với vế trái:

\[
LHS = (a+b)^2 + \frac{(a+b)}{2}
\]

Khai triển vế trái:

\[
LHS = (a^2 + 2ab + b^2) + \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = a^2 + b^2 + 2ab + \frac{a + b}{2}
\]

Tức là:

\[
LHS = a^2 + b^2 + 2ab + \frac{a}{2} + \frac{b}{2}
\]

Giờ xem xét vế phải:

\[
RHS = 2a\sqrt{b} + 2b\sqrt{a}
\]

Ta sẽ chứng minh rằng \( LHS - RHS \geq 0 \) hay:

\[
(a^2 + b^2 + 2ab + \frac{a}{2} + \frac{b}{2}) - (2a\sqrt{b} + 2b\sqrt{a}) \geq 0
\]

Để làm cho việc chứng minh này dễ dàng hơn, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(a+b)^2 \geq 2a\sqrt{b} + 2b\sqrt{a}
\]

Cũng có thể viết lại như sau:

\[
((a+b)^2 + \frac{(a+b)}{2}) \geq 2a\sqrt{b} + 2b\sqrt{a}
\]

Phân tách:

\[
(a+b)^2 + \frac{a+b}{2} \geq (a+b)^2
\]

Dễ thấy rằng:

\[
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \implies \frac{(a+b)}{2} \geq \sqrt{(\sqrt{b} \cdot a)} + \sqrt{(\sqrt{a} \cdot b)} = 2a\sqrt{b} + 2b\sqrt{a}
\]

Vì vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh:

\[
(a+b)^2 + \frac{(a+b)}{2} \geq 2a\sqrt{b} + 2b\sqrt{a}
\]

Vậy ta có:

\[
(a + b)^2 + \frac{(a + b)}{2} \geq 2a\sqrt{b} + 2b\sqrt{a}
\]

Điều này hoàn tất xong bài toán.