Gọi S ABO là diện tích tam giác ABO và S COD là diện tích tam giác COD.
Theo đề bài, ta có:
\[
S_{ABO} = 1905 \quad \text{và} \quad S_{COD} = 2009
\]
Khi các đường chéo cắt nhau, diện tích của hình thang ABCD sẽ bằng tổng diện tích của các tam giác ABO,COD, ADO, và BCO. Chúng ta có thể biểu diễn diện tích của hình thang dưới dạng:
\[
S_{ABCD} = S_{ABO} + S_{COD} + S_{ADO} + S_{BCO}
\]
Vì \(\frac{S_{ABO}}{S_{COD}} = \frac{S_{ADO}}{S_{BCO}}\), tức là diện tích của các tam giác ABO và COD tỉ lệ thuận với diện tích của các tam giác ADO và BCO.
Đặt:
\[
S_{ABO} = k \quad \text{và} \quad S_{COD} = m
\]
Có:
\[
k = 1905 \quad \text{và} \quad m = 2009
\]
Diện tích của hình thang được tính bằng công thức:
\[
S_{ABCD} = S_{ABO} + S_{COD} = k + m
\]
Từ đó, chúng ta có:
\[
S_{ABCD} = 1905 + 2009 = 3914
\]
Và diện tích hình thang ABCD là:
\[
\boxed{3914}
\]