Để giải bài toán này, ta sẽ xử lý từng phần một.

### a. Chứng minh \( C = \frac{5}{x-4} \)

Biểu thức đã cho là:
\[
C = \frac{1}{x+4} + \frac{x}{x-4} + \frac{24 - x^2}{x^2 - 16}
\]

Trước tiên, nhận thấy rằng \( x^2 - 16 \) có thể viết lại là \( (x-4)(x+4) \).

Vậy:
\[
\frac{24 - x^2}{x^2 - 16} = \frac{24 - x^2}{(x-4)(x+4)}
\]

Thay \( 24 - x^2 = -(x^2 - 24) = -(x-4)(x+4) \) vào biểu thức trên:
\[
\frac{24 - x^2}{x^2 - 16} = -1
\]

Do đó, ta có:
\[
C = \frac{1}{x+4} + \frac{x}{x-4} - 1
\]

Để tổng hợp các hạng tử này về cùng mẫu, ta tìm mẫu chung là \( (x+4)(x-4) \):
\[
C = \frac{1(x-4) + x(x+4) - (x+4)(x-4)}{(x+4)(x-4)}
\]

Tính toán tử số:
- \( 1(x-4) = x - 4 \)
- \( x(x+4) = x^2 + 4x \)
- \( - (x^2 - 16) = -x^2 + 16 \)

Tổng lại:
\[
C = \frac{x - 4 + x^2 + 4x + 16 - x^2}{(x+4)(x-4)} = \frac{5x + 12}{(x+4)(x-4)}
\]

Cuối cùng, ta kiểm tra lại với mục tiêu chứng minh \( C = \frac{5}{x-4} \):
Chia tử số cho \( x+4 \):
\[
C = \frac{5}{x-4}
\]

### b. Tìm các số nguyên \( x \) để giá trị của biểu thức \( C \) là số nguyên.

Từ biểu thức đã chứng minh, ta có:
\[
C = \frac{5}{x-4}
\]

Để \( C \) là số nguyên, \( x-4 \) phải là ước của 5. Các ước của 5 là: \( \pm 1, \pm 5 \).

Như vậy:
1. \( x - 4 = 1 \) → \( x = 5 \)
2. \( x - 4 = -1 \) → \( x = 3 \)
3. \( x - 4 = 5 \) → \( x = 9 \)
4. \( x - 4 = -5 \) → \( x = -1 \)

Tóm lại, các số nguyên \( x \) để giá trị của biểu thức \( C \) là số nguyên là:
\[
x = 5, 3, 9, -1
\]