Để giải các bài toán trong tam giác vuông ABC với điểm A là điểm vuông góc, chúng ta sẽ áp dụng một số định lý và công thức liên quan đến tam giác vuông.

### a) \( B = 40^\circ \), \( AB = 4 \text{cm} \)
- Sử dụng định lý Sin:
\[
\sin B = \frac{AC}{BC} \Rightarrow AC = BC \cdot \sin B
\]
\[
\cos B = \frac{AB}{BC} \Rightarrow BC = \frac{AB}{\cos B}
\]
- Tính \( AC \) và \( BC \):
- Tính \( BC \):
\[
BC = \frac{4}{\cos(40^\circ)}
\]
- Tính \( AC \):
\[
AC = BC \cdot \sin(40^\circ)
\]

### b) \( BC = 20 \text{cm} \), \( B = 30^\circ \)
- Sử dụng định lý Cos:
\[
AB = BC \cdot \cos B = 20 \cdot \cos(30^\circ)
\]
- Tính:
\[
AB = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{cm}
\]
- Tính \( AC \) bằng định lý Sin:
\[
AC = BC \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{cm}
\]

### c) \( AB = 4 \text{cm} \), \( \sin C = \frac{1}{2} \)
- Nếu \( \sin C = \frac{1}{2} \), thì \( C = 30^\circ \).
- Dùng định lý Sin để tính:
\[
AC = AB \cdot \tan C = 4 \cdot \tan(30^\circ)
\]
\[
BC = \frac{AB}{\cos C}
\]

### d) \( AB = 3 \text{cm} \), \( BC = 5 \text{cm} \)
- Tính \( B \) bằng định lý Pythagore:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{cm}
\]
- Tính góc \( B \):
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}
\]

### e) \( \angle C = 60^\circ \), \( AC = 9 \text{cm} \)
- Dùng định lý Sin:
\[
BC = \frac{AC}{\sin C} = \frac{9}{\sin(60^\circ)} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \text{cm}
\]
- Tính \( AB \) theo định lý Pythagore:
\[
AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}
\]

Các kết quả cụ thể sẽ phụ thuộc vào việc tính toán chính xác. Bạn có thể dùng máy tính để tìm các giá trị sin, cos và các phép tính khác nhau.