### 1) Tập xác định, chiều biến thiên và đồ thị của hàm số

Xét hàm số \( y = \frac{1}{2} x^2 \).

**Tập xác định:**
Hàm số này là một hàm bậc 2 nên tập xác định \( D \) của hàm số là:
\[ D = \mathbb{R} \]

**Chiều biến thiên:**
- Tính đạo hàm của hàm số:
\[
y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2} x^2\right) = x
\]
- Tìm nghiệm của phương trình \( y' = 0 \):
\[
x = 0
\]
- Xét dấu của \( y' \):
- Khi \( x < 0 \) thì \( y' < 0 \) (hàm số giảm).
- Khi \( x > 0 \) thì \( y' > 0 \) (hàm số tăng).

Từ phân tích trên, ta có:
- Hàm số giảm trên khoảng \( (-\infty, 0) \).
- Hàm số tăng trên khoảng \( (0, +\infty) \).
- Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 0 \):
\[
y(0) = \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0
\]

**Kết luận:**
- Hàm số có cực tiểu tại \( (0, 0) \).
- Tóm tắt chiều biến thiên:
- Giảm: \( (-\infty, 0) \)
- Tăng: \( (0, +\infty) \)

**Đồ thị của hàm số:**
Đồ thị của hàm số \( y = \frac{1}{2} x^2 \) là một parabol mở lên, có đỉnh tại điểm \( (0, 0) \).

### 2) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm \( (2, -6) \) có hệ số góc \( a \) và tiếp xúc với đồ thị hàm số

Công thức tổng quát của đường thẳng có hệ số góc \( a \) là:
\[
y + 6 = a(x - 2)
\]
Hay viết lại:
\[
y = ax - 2a - 6
\]

Để đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số, chúng ta cần tìm \( x_0 \) sao cho:
1. Điểm \( (x_0, \frac{1}{2}x_0^2) \) là điểm tiếp xúc.
2. Đạo hàm của hàm số tại điểm tiếp xúc bằng hệ số góc của đường thẳng, tức là:
\[
y' = x_0 = a
\]

Thay \( a = x_0 \) vào phương trình đường thẳng:
\[
y = x_0 x - 2x_0 - 6
\]

Để đường thẳng cắt đồ thị tại điểm tiếp xúc, ta cần giải phương trình:
\[
x_0 x - 2x_0 - 6 = \frac{1}{2}x^2
\]
Sắp xếp lại:
\[
\frac{1}{2} x^2 - x_0 x + (2x_0 + 6) = 0
\]

Phương trình này phải có một nghiệm duy nhất để đảm bảo rằng đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số. Điều này xảy ra khi:
\[
\Delta = (-x_0)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (2x_0 + 6) = 0
\]
Giải \( \Delta \):
\[
x_0^2 - 2(2x_0 + 6) = 0 \\
x_0^2 - 4x_0 - 12 = 0
\]
Giải phương trình bậc 2 này:
\[
x_0 = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2}
\]
Ta có hai nghiệm:
\[
x_0 = 6 \quad \text{hoặc} \quad x_0 = -2
\]

Cho \( x_0 = 6 \):
- Hệ số góc \( a = 6 \)
- Phương trình đường thẳng:
\[
y = 6x - 12 - 6 = 6x - 18
\]

Cho \( x_0 = -2 \):
- Hệ số góc \( a = -2 \)
- Phương trình đường thẳng:
\[
y = -2x + 4 - 6 = -2x - 2
\]

**Kết luận:**
- Hai phương trình đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số là:
1. \( y = 6x - 18 \)
2. \( y = -2x - 2 \)