Để liệt kê các phần tử của tập hợp \( X = \{ x \in \mathbb{R}^2 \ | \ x^2 + x + 1 = 0 \} \), ta cần giải phương trình \( x^2 + x + 1 = 0 \).

Phương trình bậc hai này có thể được giải bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \( a = 1, b = 1, c = 1 \), ta có:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]

Vì delta nhỏ hơn 0, phương trình không có nghiệm thực.

Do đó, tập hợp \( X \) là rỗng:

\[
X = \emptyset
\]

Vậy đáp án đúng là: **C. \( X = \emptyset \)**.