Cho a, b ∈ Z. Chứng minh: a^4b - a^2b + ab^2 - ab^4 chia hết cho 6

Để chứng minh rằng biểu thức \( a^4b - a^2b + ab^2 - ab^4 \) chia hết cho 6 với \( a, b \in \mathbb{Z} \), ta có thể tách biểu thức và phân tích:

Bắt đầu với biểu thức:

\[
E = a^4b - a^2b + ab^2 - ab^4
\]

Ta có thể nhóm lại các hạng tử:

\[
E = a^2b(a^2 - 1) + ab^2(1 - b^2)
\]

Tiếp theo, để chứng minh rằng \( E \) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng \( E \) chia hết cho 2 và 3.

### Chứng minh chia hết cho 2:

1. **Trường hợp \( a \) hoặc \( b \) chẵn**: Nếu \( a \) hoặc \( b \) chẵn, thì \( E \) sẽ chẵn.
2. **Trường hợp \( a, b \) lẻ**: Khi đó \( a^2 \) và \( b^2 \) đều là lẻ, nghĩa là \( a^2 - 1 \) và \( 1 - b^2 \) đều là chẵn. Do đó, \( E \) là tổng của các hạng tử chẵn.

=> Kết luận: \( E \) chia hết cho 2.

### Chứng minh chia hết cho 3:

Ta xem xét các trường hợp của \( a \) và \( b \) modulo 3:

1. **Trường hợp \( a \equiv 0, 1, 2 \,(\text{mod}\, 3) \)**: Xét \( b \) tương tự.
2. Tính từng trường hợp:
- Nếu \( a \equiv 0 \): \( a^4b - a^2b + ab^2 - ab^4 \equiv 0 \) (nhờ \( a \) nhân với hết).
- Nếu \( a \equiv 1 \): \( b - b + b^2 - b^4 \equiv b^2 - b^4 \equiv b^2(1-b^2) \).
- Nếu \( a \equiv 2 \): Tương tự như trên, tính ra kết quả sẽ chia hết cho 3.

=> Kết luận: Trong mọi trường hợp, \( E \) sẽ chia hết cho 3.

### Kết luận chung:

Vì \( E \) chia hết cho 2 và 3, do đó \( E \) cũng chia hết cho \( 6 \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( a^4b - a^2b + ab^2 - ab^4 \) chia hết cho 6 khi \( a, b \in \mathbb{Z} \).