Cho a, b, c, d là các số dương thoả mãn a + b = c + d và a^3 + b^3 = c^3 + d^3

Để chứng minh rằng \( a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \) với các giả thiết \( a + b = c + d \) và \( a^3 + b^3 = c^3 + d^3 \), ta có thể bắt đầu từ các công thức đã cho.

1. **Sử dụng công thức tổng:**
Ta biết rằng \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \). Do đó, ta có:
\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]
Tương tự, cho \( c \) và \( d \):
\[
c^3 + d^3 = (c + d)(c^2 - cd + d^2)
\]

2. **Áp dụng điều kiện \( a + b = c + d \):**
Gọi \( S = a + b = c + d \). Khi đó, ta có:
\[
a^3 + b^3 = S(a^2 - ab + b^2)
\]
\[
c^3 + d^3 = S(c^2 - cd + d^2)
\]

Vì \( a^3 + b^3 = c^3 + d^3 \), nên:
\[
S(a^2 - ab + b^2) = S(c^2 - cd + d^2)
\]

3. **Chia cả hai vế cho \( S \) (vì \( S > 0 \)):**
\[
a^2 - ab + b^2 = c^2 - cd + d^2
\]

4. **Sử dụng công thức bình phương:**
Ta biết rằng:
\[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = S^2 - 2ab
\]
\[
c^2 + d^2 = (c + d)^2 - 2cd = S^2 - 2cd
\]

5. **So sánh hai bình phương:**
Từ các phương trình trên, ta có:
\[
S^2 - 2ab = S^2 - 2cd
\]

6. **Rút gọn để tìm mối quan hệ giữa \( ab \) và \( cd \):**
\[
-2ab = -2cd \rightarrow ab = cd
\]

7. **Sử dụng mối quan hệ giữa \( a, b, c, d \):**
Từ \( ab = cd \) và \( a + b = c + d \), ta có thể áp dụng định lý cơ bản về các số dương và nhận thấy rằng:
\[
a^2 + b^2 = c^2 + d^2
\]

Do đó, ta đã chứng minh được rằng nếu \( a + b = c + d \) và \( a^3 + b^3 = c^3 + d^3 \) thì \( a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \).