Chứng minh bốn điểm Q; A; B; C cùng thuộc một đường tròn

Để chứng minh bốn điểm \( Q, A, B, C \) cùng thuộc một đường tròn, chúng ta sẽ dùng tính chất của đường tròn và các góc.

1. **Xác định các điểm trong tam giác:**
- Cho tam giác đều \( ABC \) với \( AB = AC \).
- Chọn điểm \( P \) trên cạnh đáy \( BC \).
- Kẻ các đường thẳng \( PE \) và \( PD \) lần lượt song song với \( AB \) và \( AC \), sao cho \( E \in AC \) và \( D \in AB \).

2. **Tính chất đối xứng:**
- Gọi \( Q \) là điểm đối xứng với điểm \( P \) qua đoạn thẳng \( DE \).

3. **Tính chất của các góc:**
- Do \( PE \parallel AB \) và \( PD \parallel AC \), ta có các góc tương ứng bằng nhau:
- \( \angle PEB = \angle ABE \)
- \( \angle PDC = \angle ACD \)

4. **Tạo thành tam giác:**
- Xét tứ giác \( AQBC \). Để chứng minh bốn điểm này đồng nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tổng các góc đối diện trong tứ giác \( AQBC \) bằng \( 180^\circ \):

\[
\angle AQC + \angle ABC = \angle AQP + \angle ABE + \angle ACD
\]

- Với tính chất đối xứng và góc tạo bởi các đường song song, ta dễ dàng nhận thấy rằng:

\[
\angle AQC = \angle APD
\]
\[
\angle ABC = \angle ABE = \angle PEB
\]
\[
\angle ACD = \angle PDC
\]

5. **Kết quả:**
- Sử dụng tính chất các góc, chúng ta nhận thấy:

\[
\angle AQC + \angle ABC = 180^\circ
\]

Vậy, tứ giác \( AQBC \) là tứ giác nội tiếp.

Do đó, bốn điểm \( Q, A, B, C \) cùng thuộc một đường tròn.

Chúng ta đã chứng minh rằng các điểm này nằm trên cùng một đường tròn thông qua các tính chất góc và đối xứng.