Để tìm số nghiệm của phương trình \(\sin x = \frac{1}{3}\) trên khoảng \((0, 4\pi)\), trước tiên chúng ta cần xác định những giá trị của \(x\) mà tại đó \(\sin x = \frac{1}{3}\).

Hàm sin có chu kỳ \(2\pi\), vì vậy mỗi lần lặp lại chu kỳ, phương trình sẽ có hai nghiệm trong mỗi khoảng \((0, 2\pi)\). Cụ thể, trong một chu kỳ:

1. Một nghiệm trong khoảng \((0, \pi)\)
2. Một nghiệm trong khoảng \((\pi, 2\pi)\)

Do đó, cho khoảng \((0, 2\pi)\) sẽ có 2 nghiệm.

Vì vậy, trong khoảng \((0, 4\pi)\):

- Trong khoảng \((0, 2\pi)\): Có 2 nghiệm.
- Trong khoảng \((2\pi, 4\pi)\): Cũng có 2 nghiệm.

Tổng cộng, số nghiệm của phương trình \(\sin x = \frac{1}{3}\) trên khoảng \((0, 4\pi)\) là:

\[ 2 + 2 = 4 \]

Vậy nên, phương trình \(\sin x = \frac{1}{3}\) có 4 nghiệm trong khoảng \((0, 4\pi)\).