Chứng minh rằng tứ giác MBND là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng

Để chứng minh rằng tứ giác MBND là hình bình hành, ta sử dụng tính chất của hình bình hành và trung điểm:

1. **Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành:**
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( AD \) và \( N \) là trung điểm của \( BC \).
- Theo tính chất của hình bình hành, ta có \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- Vì \( M \) là trung điểm của \( AD \), nên \( AM = MD \).
- Vì \( N \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BN = NC \).
- Ta có hai cặp cạnh đối diện:
\[
MB = MN \quad \text{và} \quad ND = NM.
\]
- Do đó, với các cặp rìa đối diện bằng nhau và song song, tứ giác MBND là hình bình hành.

2. **Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng M, O, N thẳng hàng:**
- Vì \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) của hình bình hành ABCD, nên \( O \) chia mỗi đường chéo thành hai đoạn bằng nhau.
- Ta có:
\[
AO = OC \quad \text{và} \quad BO = OD.
\]
- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của các cạnh \( AD \) và \( BC \), nên:
\[
\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC} = 1.
\]
- Từ đó, ta suy ra các tỷ lệ:
\[
\frac{MO}{ON} = \frac{AM}{AO} \quad \text{và} \quad \frac{AO}{OC} = 1.
\]
- Do đó, \( M, O, N \) thẳng hàng theo định nghĩa về trung điểm.

Kết luận: Ta đã chứng minh rằng tứ giác MBND là hình bình hành và ba điểm M, O, N thẳng hàng.