Chứng minh rằng HDQF và HDRE là hình bình hành

Để chứng minh rằng HDQF và HDRE là hình bình hành cho tam giác nhọn ABC với ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H, ta sẽ sử dụng một số định lý và mối quan hệ của các cạnh và góc trong tam giác.

1. **Cấu trúc và định nghĩa**:
- Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao từ A, B, C xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB.
- H là trực tâm của tam giác ABC, nơi ba đường cao AD, BE, CF đồng quy.
- Các điểm P, Q, R lần lượt là trực tâm của tam giác AEF, BFD, CDE.

2. **Chứng minh HDQF là hình bình hành**:
- Ta biết rằng điểm D là chân đường cao từ A xuống BC, nên góc ADH = 90 độ.
- Điểm F là chân đường cao từ C xuống AB, vì vậy góc FCB = 90 độ.
- Xét tam giác AEF, vì H là trực tâm của tam giác ABC, nên H nằm trên đường cao từ A xuống BC. Từ đây, ta có:
- Đường thẳng HD là đường cao từ H xuống cạnh EF.
- Do đó, HE ⊥ EF.
- Tương tự, tại điểm Q, ta cũng có HQ ⊥ DF.
- Suy ra rằng góc HDQ = 90 độ (vì cả hai đường thẳng HD và HQ đều vuông góc với cùng một cạnh EF).
- Do đó, trong hình thang HDFQ, các đường chéo HQ và HD cắt nhau tại điểm H và tạo thành các cặp góc đối bằng nhau, suy ra HDQF là hình bình hành.

3. **Chứng minh HDRE là hình bình hành**:
- Áp dụng cách chứng minh tương tự cho tam giác BFD với H là trực tâm, ta thấy tại điểm R, HR ⊥ EF, góc HRD = góc HDF, dẫn đến một mối quan hệ giống như đã xét ở trên.
- Do đó, các góc trong hình thang HRE, HRD cũng vuông góc như đã chỉ ra cho HDQF.
- Từ đó, ta kết luận rằng HDRE cũng là hình bình hành.

Kết luận: Từ các lý thuyết đã đưa ra và áp dụng các tính chất của tam giác và trực tâm, ta đã chứng minh rằng HDQF và HDRE là hai hình bình hành.