Giải phương trình

Để giải phương trình:

\[
\sqrt{x - 4\sqrt{x - 1} + 3} + \sqrt{x - 6\sqrt{x - 1} + 8} = 1
\]

ta đặt \( y = \sqrt{x - 1} \). Khi đó, \( x = y^2 + 1 \).

Thay vào phương trình:

\[
\sqrt{y^2 + 1 - 4y + 3} + \sqrt{y^2 + 1 - 6y + 8} = 1
\]

đơn giản hóa các biểu thức trong căn:

1. \( \sqrt{y^2 - 4y + 4} = \sqrt{(y - 2)^2} = |y - 2| \)
2. \( \sqrt{y^2 - 6y + 9} = \sqrt{(y - 3)^2} = |y - 3| \)

Vậy phương trình trở thành:

\[
|y - 2| + |y - 3| = 1
\]

Chúng ta cần xét các trường hợp cho \( y \):

1. **Trường hợp 1**: \( y \geq 3 \)
\[
(y - 2) + (y - 3) = 1 \implies 2y - 5 = 1 \implies 2y = 6 \implies y = 3
\]
(Giá trị này thỏa mãn \( y \geq 3 \)).

2. **Trường hợp 2**: \( 2 \leq y < 3 \)
\[
(y - 2) + (3 - y) = 1 \implies 1 = 1 \quad \text{(luôn đúng)}
\]
(Nên \( y \) có thể nhận mọi giá trị trong khoảng \( [2, 3) \)).

3. **Trường hợp 3**: \( y < 2 \)
\[
(2 - y) + (3 - y) = 1 \implies 5 - 2y = 1 \implies 2y = 4 \implies y = 2
\]
(Giá trị này không thỏa mãn \( y < 2 \)).

Kết luận từ các trường hợp trên, \( y \) nằm trong khoảng \( [2, 3] \), tức là:

\[
2 \leq \sqrt{x - 1} \leq 3
\]

Giải bất phương trình này:

1. Từ \( \sqrt{x - 1} \geq 2 \):
\[
x - 1 \geq 4 \implies x \geq 5
\]

2. Từ \( \sqrt{x - 1} \leq 3 \):
\[
x - 1 \leq 9 \implies x \leq 10
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là \( x \) trong khoảng:

\[
[5, 10]
\]

Kiểm tra các giá trị đầu và cuối:

- Với \( x = 5 \):
\[
\sqrt{5 - 4\cdot2 + 3} + \sqrt{5 - 6\cdot2 + 8}
= \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0
\]
(không thỏa mãn)

- Với \( x = 10 \):
\[
\sqrt{10 - 4\cdot3 + 3} + \sqrt{10 - 6\cdot3 + 8}
= \sqrt{1} + \sqrt{0} = 1
\]
(thỏa mãn)

Nên nghiệm cuối cùng của phương trình là:

\[
x \in [5, 10]
\]

Nghiệm cụ thể là \( x = 10 \).