Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu, bắt đầu từ bài 1.

### Bài 1:

1. **Giải tam giác vuông ABC**:
Gọi A là điểm vuông góc, B và C là hai điểm còn lại, với AB vuông góc AC.

2. **Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC**.

#### a) Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH

- Ta có H là một điểm bất kỳ trong tam giác ABC.
- Vì E và F là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC, nên:
\[
AH = HE \cdot \sin \angle AHB = HF \cdot \sin \angle AHC
\]
- Như vậy, EF (đoạn nối giữa E và F) cũng có thể được tính qua độ dài AH. Sử dụng tính chất hình chiếu, ta có công thức hình chiếu như sau:
\[
EF = AH
\]

#### b) Tính \( EA \cdot EB + AF \cdot FC \). Tính diện tích AEHF?

- Diện tích của tam giác AEH và AFH:
- \( S_{AEH} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot AH \)
- \( S_{AFH} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot AH \)
- Tổng diện tích:
\[
S_{AEHF} = S_{AEH} + S_{AFH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot (AE + AF)
\]

3. **Gọi AD là phân giác góc A. Tính CD và BD?**

- Theo tính chất của phân giác, ta có tỉ lệ:
\[
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}
\]
- Bạn có thể sử dụng định lý về phân giác để tính CD và BD nếu có đủ thông tin về các cạnh còn lại hoặc các góc.

### Bài 2:

1. **Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 10 cm, \( \angle ACB = 40^\circ \)**

#### a) Tính độ dài BC?

- Ta có:
\[
BC = \frac{AB}{\cos \angle ACB} = \frac{10}{\cos 40^\circ}
\]

#### b) Kẻ tia phân giác BD của góc ABC (D ∈ AC). Tính AD? BD?

- Sử dụng định lý về phân giác:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
- Cần sử dụng các thông số BC để tính toán và sau đó có thể áp dụng định lý Pythagoras để tìm các độ dài cần thiết.

Hy vọng phần giải thích trên sẽ giúp bạn có cái nhìn rõ hơn về bài toán!