Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành theo từng yêu cầu trong đề bài.

### a. Chứng minh: tam giác ABC vuông

Xét đường tròn (O;R) có đường kính AB. Theo định nghĩa, điểm C nằm trên đường tròn có nghĩa là \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \) (theo định lý Pythagore với AB là đường kính).

Chúng ta có 2 trường hợp:

1. Nếu \( C \) nằm trên nửa đường tròn nằm phía trên đường thẳng \( AB \), và \( AC > BC \), thì \( C \) sẽ tạo thành góc vuông tại điểm \( C \).
2. Ngược lại, nếu \( C \) nằm trên nửa đường tròn phía dưới và \( AC > BC \), thì cũng sẽ có góc vuông tại điểm \( C \).

Vì vậy, trong cả 2 trường hợp, chúng ta có \( \angle ACB = 90^\circ \). Do đó, tam giác ABC vuông tại C.

### b. Chứng minh: OD ⊥ AC

Ta có điểm D là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O). Theo tính chất của tiếp tuyến, đoạn thẳng OD sẽ vuông góc với đoạn thẳng AC.

Cụ thể, từ tính chất của tiếp tuyến, ta biết rằng tại mỗi điểm tiếp xúc (A, C ở đây) đường tiếp tuyến sẽ vuông góc với bán kính tại điểm đó. Do đó:

- \( OA \perp AD \)
- \( OC \perp CD \)

Vì vậy, khi đoán nối O với D sẽ tạo với AC thành 2 góc đối diện là góc AOX và góc COY với chiều ngược lại và cùng bằng 90 độ, từ đó suy ra \( OD \perp AC \).

Kết hợp lại, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.

Do đó, chúng ta có được kết quả:

- Tam giác ABC vuông tại C.
- OD vuông góc với AC.