Để xác định điều kiện cho hai đường thẳng song song, ta cần tìm hệ số góc (độ dốc) của mỗi đường thẳng.

1. Đường thẳng thứ nhất: \( y = x + 1 \)
- Hệ số góc (độ dốc) của đường thẳng này là 1.

2. Đường thẳng thứ hai: \( y = m + 5x - m + 4 \)
- Đơn giản hóa biểu thức trên:
\[
y = 5x + (4 - m + m) = 5x + 4
\]
- Hệ số góc của đường thẳng này là 5.

Để hai đường thẳng này song song, hệ số góc của chúng phải bằng nhau. Vậy ta có:
\[
5 = 1
\]

Tuy nhiên, đây là một điều không thể xảy ra (5 không bằng 1). Do đó, không tồn tại giá trị nào của \( m \) khiến cho hai đường thẳng này song song.

Kết luận: Không có giá trị nào của \( m \) làm cho hai đường thẳng vào cùng một hệ số góc và do đó không thể song song.