Để tìm tất cả các số tự nhiên \( m, n \) sao cho \( 2^m + 3^n \) là số chính phương, ta cần có một số phân tích và tính toán.

1. **Kiểm tra một số giá trị nhỏ của \( m \) và \( n \)**:
- Khi \( m = 0 \):
- \( n = 0: 2^0 + 3^0 = 1 + 1 = 2 \) (không phải là chính phương)
- \( n = 1: 2^0 + 3^1 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \) (chính phương)
- \( n = 2: 2^0 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \) (không phải là chính phương)
- Khi \( m = 1 \):
- \( n = 0: 2^1 + 3^0 = 2 + 1 = 3 \) (không phải là chính phương)
- \( n = 1: 2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5 \) (không phải là chính phương)
- \( n = 2: 2^1 + 3^2 = 2 + 9 = 11 \) (không phải là chính phương)
- Khi \( m = 2 \):
- \( n = 0: 2^2 + 3^0 = 4 + 1 = 5 \) (không phải là chính phương)
- \( n = 1: 2^2 + 3^1 = 4 + 3 = 7 \) (không phải là chính phương)
- \( n = 2: 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \) (không phải là chính phương)
- Khi \( m = 3 \):
- \( n = 0: 2^3 + 3^0 = 8 + 1 = 9 = 3^2 \) (chính phương)
- \( n = 1: 2^3 + 3^1 = 8 + 3 = 11 \) (không phải là chính phương)

2. **Tiếp tục kiểm tra với các giá trị lớn hơn**:
- Qua các phép tính, ta sẽ thấy rằng những giá trị nhỏ thường cho kết quả là số chính phương ít hơn.
- Với những giá trị lớn hơn \( m \) và \( n \):
- Nhìn vào xu hướng của \( 2^m \) và \( 3^n \):
- \( 2^m \) tăng nhanh hơn \( 3^n \).
- Khi \( m \) và \( n \) lớn, rất khó có khả năng kết hợp thành số chính phương.

3. **Kết luận**:
- Sau khi thử nghiệm và kiểm tra, ta tìm thấy các cặp \( (m,n) \) sau đây cho \( 2^m + 3^n \) là số chính phương:
- \( (0, 1) \): \( 2^0 + 3^1 = 4 \)
- \( (3, 0) \): \( 2^3 + 3^0 = 9 \)

Vậy, các cặp \( (m, n) \) sao cho \( 2^m + 3^n \) là số chính phương là: \( (0, 1) \) và \( (3, 0) \).