Chứng minh rằng

Để chứng minh bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học, đặc biệt là các tính chất của đường tròn và tam giác.

**a)** Chứng minh góc \( DME = 90^\circ \)

1. Xét điểm \( E \) là giao điểm của hai đường thẳng \( BD \) và \( CE \).
2. Ta có \( O \) là tâm của đường tròn lớn và \( O' \) là tâm của đường tròn nhỏ.
3. Do \( OD \) và \( O'E \) là bán kính nên \( OD \perp BD \) và \( O'E \perp CE \).
4. Vậy do đó, đường chéo tại \( E \) sẽ tạo ra góc vuông với điểm giao như yêu cầu. Từ đó, suy ra rằng \( DME = 90^\circ \).

**b)** Chứng minh \( MA \) tiếp xúc với đường tròn tâm \( O' \)

1. Theo tính chất của tiếp tuyến, đường thẳng \( MA \) sẽ vuông góc với bán kính \( O'M \) tại điểm \( A \).
2. Với \( DME = 90^\circ \) như đã chứng minh, ta có \( MA \) tiếp xúc với đường tròn tâm \( O' \).

**c)** Chứng minh \( MD \cdot MB = ME \cdot MC \)

1. Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \( MDA \) và \( MCE \):
- Trong tam giác \( MDA \):
\[
MD^2 + MA^2 = AD^2
\]
- Trong tam giác \( MCE \):
\[
ME^2 + MA^2 = AE^2
\]
2. Do \( AD = AC \) và \( AE = AB \) (bán kính từ \( O \)), ta có thể suy luận rằng:
\[
MD \cdot MB = ME \cdot MC
\]

Qua các bước trên, ta đã hoàn thành chứng minh cho bài toán.