Để chứng minh rằng biểu thức \( Q = 6x - x^2 - 10 \) luôn luôn âm với mọi giá trị của \( x \), ta làm như sau:

1. **Chuyển đổi biểu thức**:

Ta có thể viết lại \( Q \) theo dạng chuẩn của một đa thức bậc 2 như sau:

\[
Q = -x^2 + 6x - 10
\]

Hoặc ta có thể viết:

\[
Q = -(x^2 - 6x + 10)
\]

2. **Tìm giá trị lớn nhất của đa thức bậc 2**:

Đa thức \( x^2 - 6x + 10 \) có thể được phân tích để tìm giá trị lớn nhất của nó. Đầu tiên, ta tính nghiệm của phương trình:

\[
D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4
\]

Vì \( D < 0 \), phương trình không có nghiệm thực, tức là nó không cắt trục hoành và có giá trị lớn nhất tại đỉnh.

3. **Tính đỉnh**:

Công thức tính hoành độ đỉnh của parabola được cho bởi:

\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3
\]

Thay giá trị \( x = 3 \) vào biểu thức \( x^2 - 6x + 10 \):

\[
P(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 10 = 9 - 18 + 10 = 1
\]

Do đó, giá trị lớn nhất của \( x^2 - 6x + 10 \) là 1.

4. **Kết luận**:

Khi đó,

\[
Q = -(x^2 - 6x + 10) \leq -1
\]

Như vậy, \( Q \) luôn luôn âm cho mọi giá trị của \( x \) vì giá trị lớn nhất của \( x^2 - 6x + 10 \) là 1, nên \( Q \leq -1 < 0 \).

Vậy \( Q \) luôn luôn âm với mọi giá trị của \( x \).