Tìm m sao cho A ∪ B = R

Để tìm m để thỏa mãn điều kiện \( A \cup B = \mathbb{R} \), chúng ta sẽ xem từng trường hợp cụ thể dưới đây:

### a) \( A = (-\infty; m), B = (2; +\infty) \)

Ta cần:

\[
A \cup B = (-\infty; m) \cup (2; +\infty) = \mathbb{R}
\]

Điều này có nghĩa là khoảng mở từ -∞ đến m bao trùm khoảng mở từ 2 đến +∞. Để thỏa điều kiện này, ta có hai trường hợp:

1. Nếu \( m \leq 2 \): Trong trường hợp này, \( A \) chỉ bao trùm (-∞; 2) và không bao gồm các giá trị trên 2, nên không có giá trị nào trong B.
2. Nếu \( m > 2 \): Khi đó, \( A \) sẽ bao chứa toàn bộ khoảng từ -∞ đến m (m lớn hơn 2) và đồng thời cũng bao chứa khoảng từ 2 đến +∞ trong B.

Vậy, điều kiện là:

\[
m > 2
\]

### b) \( A = (-\infty; 3], B = [m; +\infty) \)

Chúng ta cần:

\[
A \cup B = (-\infty; 3] \cup [m; +\infty) = \mathbb{R}
\]

Để \( A \cup B \) đạt được mọi giá trị thực, cần:

1. Nếu \( m \leq 3 \), thì \( [m; +\infty) \) sẽ bao trùm các giá trị lớn hơn hoặc bằng m bao gồm cả các giá trị lớn hơn 3, và \( A = (-\infty; 3] \) không cần thêm giá trị tại đây.
2. Nếu \( m > 3 \): Khi đó, \( B \) sẽ là khoảng mở từ m trở lên, không bao thuộc các giá trị nhỏ hơn m, như vậy A cần cố gắng đạt đến m, không bao gồm các giá trị từ -∞ đến m.

Vậy điều kiện cho trường hợp này là:

\[
m \leq 3
\]

### c) \( A = [2-m; m+1/2], B = \mathbb{R}([-2; 3)) \)

Chúng ta cần:

\[
A \cup B = [2-m; m+1/2] \cup \mathbb{R}([-2; 3)) = \mathbb{R}
\]

Để \( A \cup B \) bao trùm tất cả các giá trị, thì:

1. Khoảng của B sẽ bao chứa các giá trị từ -2 đến 3 nhưng không bao gồm 3.
2. Để đảm bảo điều kiện này, ta cần \( 2-m \leq -2 \) và \( m+1/2 \geq 3 \).

Giải quyết điều kiện này:

- \( 2 - m \leq -2 \Rightarrow m \geq 4 \)
- \( m + 1/2 \geq 3 \Rightarrow m \geq 5/2 = 2.5 \)

Vậy cần thỏa mãn:

\[
m \geq 4
\]

### d) \( A = [1-m; m+3], B = (-\infty; -2) \cup [2; +\infty) \)

Ta cần:

\[
A \cup B = [1-m; m+3] \cup (-\infty; -2) \cup [2; +\infty) = \mathbb{R}
\]

Để \( A \cup B \) bao trùm mọi giá trị thực, cần phải có giới hạn sau:

1. Nếu \( m+3 < 2 \), tức là \( m < -1 \), thì A không bao gồm các giá trị từ 2 trở lên, điều này dẫn đến A không bao trùm mọi giá trị.
2. Nếu \( 1-m > -2 \) dẫn đến \( m < 3 \), khoảng giữa có giới hạn.

Tóm lại, tại đây cần có điều kiện:

\[
m \geq 3
\]

Từ tất cả các tính toán trên, chúng ta có:

- a) \( m > 2 \)
- b) \( m \leq 3 \)
- c) \( m \geq 4 \)
- d) \( m \geq 3 \)

Chúc bạn thành công!