Tìm nguyên hàm cosx cos 2x sin 3xdx

Để tìm nguyên hàm của biểu thức \(\int \cos x \cos 2x \sin 3x \, dx\), ta có thể sử dụng một số công thức lượng giác và phương pháp tích phân từng phần.

### Bước 1: Sử dụng công thức lượng giác
Sử dụng công thức nhân:

\[
\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos (A + B) + \cos (A - B))
\]

Áp dụng vào \(\cos x \cos 2x\):

\[
\cos x \cos 2x = \frac{1}{2} (\cos(3x) + \cos(-x)) = \frac{1}{2} (\cos(3x) + \cos x)
\]

Như vậy, chúng ta có:

\[
\int \cos x \cos 2x \sin 3x \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos(3x) + \cos x) \sin 3x \, dx
\]

### Bước 2: Chia thành hai tích phân
Thay vào ta có:

\[
\frac{1}{2} \left( \int \cos(3x) \sin(3x) \, dx + \int \cos x \sin(3x) \, dx \right)
\]

### Bước 3: Tính từng tích phân
1. Tính \(\int \cos(3x) \sin(3x) \, dx\):

Sử dụng công thức tích phân của \(\sin\) và \(\cos\):

\[
\int \sin(kx) \cos(kx) \, dx = \frac{1}{2k} \sin^2(kx)
\]

Thay \(k = 3\):

\[
\int \cos(3x) \sin(3x) \, dx = \frac{1}{6} \sin^2(3x)
\]

2. Tính \(\int \cos x \sin(3x) \, dx\) (sử dụng tích phân từng phần):

\[
\int \cos x \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3} \cos x \cos(3x) + \frac{1}{3} \int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3} \cos x \cos(3x) - \frac{1}{9} \cos(3x)
\]

### Bước 4: Kết hợp kết quả lại
Kết hợp cả hai tích phân lại:

\[
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{6} \sin^2(3x) - \frac{1}{3} \cos x \cos(3x) - \frac{1}{9} \cos(3x) \right) + C
\]

### Kết quả chung
Cuối cùng, nguyên hàm của biểu thức là:

\[
\int \cos x \cos 2x \sin 3x \, dx = \frac{1}{12} \sin^2(3x) - \frac{1}{6} \cos x \cos(3x) - \frac{1}{18} \cos(3x) + C
\]

Trong đó \(C\) là hằng số tích phân.