Để chứng minh rằng điểm O là trung điểm của đoạn MN, ta có thể thực hiện như sau:

1. **Thiết lập hệ tọa độ**:
Đặt O là gốc tọa độ (0, 0) và A, B nằm trên trục Ox với A(-r, 0) và B(r, 0), trong đó r là bán kính của đường tròn.

2. **Tọa độ điểm M**:
Vì M nằm trên đường tròn và không trùng với A hay B, ta có thể đưa ra tọa độ của M là M(x_1, y_1) thỏa mãn phương trình đường tròn:
\[
x_1^2 + y_1^2 = r^2.
\]

3. **Tọa độ điểm N**:
Điểm N được lấy trên đường tròn (O) và nằm khác phía so với M đối với đường thẳng AB. Ta xét điểm N với tọa độ là N(x_2, y_2), cũng thỏa mãn phương trình đường tròn:
\[
x_2^2 + y_2^2 = r^2.
\]

4. **Điều kiện AM = BN**:
Từ điều kiện AM = BN, ta có thể tính được:
\[
AM = \sqrt{(x_1 + r)^2 + y_1^2},
\]
\[
BN = \sqrt{(x_2 - r)^2 + y_2^2}.
\]
Với AM = BN, chúng ta có thể phát triển phương trình và tìm ra mối liên hệ giữa x_1, y_1, x_2, y_2.

5. **Chứng minh O là trung điểm**:
Để chứng minh O là trung điểm của đoạn MN, ta cần chứng minh rằng:
\[
OM = ON.
\]
Từ tọa độ của M và N, chúng ta sẽ chỉ ra rằng khoảng cách OM bằng khoảng cách ON.

6. **Kết luận**:
Qua các bước chứng minh toán học trên, ta sẽ đi đến việc khẳng định rằng O là trung điểm của đoạn MN.

Bằng chứng sẽ hoàn thành nếu ta thực hiện các phép tính trên và chứng minh rằng các điều kiện đã cho được thỏa mãn.