Để rút gọn biểu thức \( P \) và tìm điều kiện để \( P \geq 0 \), ta thực hiện các bước sau.

### Bước 1: Rút gọn biểu thức \( P \)

Ta có:

\[
P = \frac{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x}{\sqrt{x} - 1}}{\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}}
\]

Ta rút gọn tử của biểu thức:

\[
P = \frac{\frac{\sqrt{x} - x}{\sqrt{x} - 1}}{\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}}
\]

Tử số trở thành:

\[
\sqrt{x} - x = \sqrt{x} - x = \sqrt{x}(1 - \sqrt{x})
\]

Cho nên:

\[
P = \frac{\frac{\sqrt{x}(1 - \sqrt{x})}{\sqrt{x} - 1}}{\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}}
\]

### Bước 2: Rút gọn mẫu số

Mẫu số trở thành:

\[
\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x}(1 - \frac{1}{\sqrt{x} + 1}) = \sqrt{x}\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)
\]

### Bước 3: Rút gọn toàn bộ

Khi rút gọn \( P \):

\[
P = \frac{\frac{\sqrt{x}(1 - \sqrt{x})}{\sqrt{x} - 1}}{\sqrt{x} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}}
\]

Loại bỏ \(\sqrt{x}\):

\[
P = \frac{(1 - \sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1}
\]

### Bước 4: Tìm \( x \) để \( P \geq 0 \)

Ta cần xét dấu của biểu thức.

1. **Tử số**: \( (1 - \sqrt{x})(\sqrt{x} + 1) \geq 0 \)
- \( 1 - \sqrt{x} \geq 0 \) tức là \( \sqrt{x} \leq 1 \) hay \( x \leq 1 \).
- \( \sqrt{x} + 1 \geq 0 \) luôn đúng với \( x > 0 \).

2. **Mẫu số**: \( \sqrt{x} - 1 > 0 \) tức là \( \sqrt{x} > 1 \) hay \( x > 1 \).

Kết luận:

- \( x \) phải thỏa mãn đồng thời \( x \leq 1 \) và \( x > 1 \), điều này vô lý trong miền số thực.

### Kết luận

Biểu thức \( P \) không có giá trị dương hoặc bằng 0 trong miền xác định \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \). Do đó không có giá trị \( x \) nào làm cho \( P \geq 0 \).

Nếu bạn cần thêm bất kỳ thông tin nào khác, hãy cho tôi biết!