Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 15cm cắt nhau tại A và B. Đường thẳng OO' cắt AB tại H. Giả sử AB = 24cm

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần:

### Phần 1: Chứng minh OO' là đường trung trực của đoạn thẳng AB và tính độ dài AH, OH và O'H.

1. **Chứng minh OO' là đường trung trực của đoạn thẳng AB:**
- Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm H của đoạn thẳng AB.
- Do đó, để chứng minh OO' là đường trung trực của AB, ta cần chứng minh rằng H là trung điểm của AB và OO' vuông góc với AB.
- Ta có AB = 24 cm. Trung điểm H sẽ được tính như sau:
\[
AH = \frac{AB}{2} = \frac{24\,cm}{2} = 12\,cm
\]
- Điều này cho thấy AH = 12 cm.
- Vậy HO = OH = 12 cm.
- Chúng ta cũng biết rằng O là tâm của đường tròn cắt nhau tại A và B, vì thế OA = OB = 15 cm.
- Khi đó, tam giác OHA xuất hiện, với OA = 15 cm, OH = 12 cm, do đó:
\[
OA^2 = OH^2 + AH^2 \implies OAH \text{ là tam giác vuông tại } H
\]
- Suy ra, OO' (đường thẳng nối O và tâm O') vuông góc với AB và đi qua H, chứng minh được OO' là đường trung trực của AB.

2. **Tính độ dài AH, OH, O'H:**
- Đã tính được:
\[
AH = 12\,cm \quad và \quad OH = 12\,cm
\]
- Để tính O'H, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác OAH:
\[
OA^2 = OH^2 + AH^2 \implies 15^2 = OH^2 + 12^2
\]
- Tính toán:
\[
225 = OH^2 + 144 \implies OH^2 = 81 \implies OH = 9\,cm
\]
- Như vậy ta đã có:
\[
O'H = OA - OH = 15 - 9 = 6\,cm
\]

### Phần 2: Tính độ dài của OO' trong hai trường hợp.

1. **Khi H thuộc đoạn thẳng OO':**
- Ta sẽ áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OHA hoặc O'HO.
- Biết rằng OH = 9 cm và OA = 15 cm, thì:
\[
OO' = OA + AH = 15\,cm + 12\,cm = 27\,cm
\]

2. **Khi H nằm ngoài đoạn thẳng OO':**
- Khi H nằm ngoài OO', ta có các độ dài đo chênh lệch từ điểm H đến điểm O' không còn là tổng của đường thẳng OA.
- Sử dụng định lý Pythagore, ta sẽ nhận thấy rằng OO' vẫn có độ dài bằng OA = 15 cm, vì O'H đã được tính ra là 6 cm (tính thêm vào OH).
- Vậy trong trường hợp H nằm ngoài OO':
\[
OO' = OH + O'H = 12 + 6 = 18\, cm.
\]

### Kết luận:
- Đoạn thẳng OO' có độ dài 27 cm khi H thuộc OO' và 18 cm trong trường hợp H nằm ngoài OO'.