Cho tia Ax và By cùng vuông góc với AB và cùng chiều . M và N là hai điểm di động lần lượt trên tia Ax và By sao cho AM + BM = MN

Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( MN \) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Gọi điểm A và B:** Đặt A và B là hai điểm cho trước trên mặt phẳng, với \( A \) ở tọa độ \( (0, 0) \) và \( B \) ở tọa độ \( (b, 0) \) (với \( b > 0 \)).

2. **Xác định các điểm M và N:** Giả sử điểm M di động trên tia Ax, và điểm N di động trên tia By. Gọi tọa độ của M là \( (0, m) \) (giả sử \( m \) là cao độ của M trên trục y) và tọa độ của N là \( (b, n) \) (với \( n \) là cao độ của N trên trục y, nằm trên trục thẳng đứng qua B).

3. **Tính độ dài và xét điều kiện:**
Độ dài \( AM \) và \( BM \) lần lượt là:
\[
AM = m
\]
\[
BM = \sqrt{(b - 0)^2 + (0 - m)^2} = \sqrt{b^2 + m^2}
\]
Để thỏa mãn điều kiện \( AM + BM = MN \):
\[
MN = \sqrt{(b - 0)^2 + (n - m)^2} = \sqrt{b^2 + (n - m)^2}
\]
Ta có:
\[
m + \sqrt{b^2 + m^2} = \sqrt{b^2 + (n - m)^2}
\]

4. **Đặt biến:** Để đơn giản, ta có thể đặt \( d = n - m \). Từ đó, điều kiện trên sẽ trở thành phương trình phụ thuộc vào \( m \) và \( d \).

5. **Rút gọn điều kiện:** Khi giải phương trình kết quả, ta sẽ tìm ra mối liên hệ giữa \( m \), \( n \) và một hằng số (có thể là chiều cao của một đường tròn nhất định).

6. **Chứng minh tiếp xúc với đường tròn:** Bằng cách ý tưởng là đường tròn đi qua các điểm M và N sẽ có bán kính cố định (cấu thành từ điều kiện chiều dài).

Khi điều kiện \( AM + BM = MN \) được giữ, nó sẽ tạo thành một đường cong (còn gọi là conic) và dần dần sẽ đi đến một đường tròn nhất định mà các điểm M, N khi di động vẫn sẽ chạm tới.

Cuối cùng, qua các bước kể trên, ta có thể kết luận rằng đoạn thẳng \( MN \) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định, như yêu cầu chứng minh ban đầu.