Để giải bài tập tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\) với các dữ liệu đã cho, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo đúng yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng \(AD \cdot AB = AE \cdot AC\).

Ta có:

- Từ định nghĩa của đường cao \(AH\) trong tam giác vuông \(ABC\), ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác để tính:
- Diện tích tam giác \(ABC\) có thể tính bằng hai cách:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC
\]

- Theo đó, độ dài \(BC = HB + HC = 4 + 9 = 13 \text{ cm}\).

Vì vậy, ta có:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot 13
\]

Từ đây ta có thể suy ra rằng \(AD \cdot AB = AE \cdot AC\), bởi vì \(D\) và \(E\) lần lượt là chân đường vuông góc từ \(H\) xuống \(AB\) và \(AC\).

### b) Chứng minh rằng \(\triangle ABC \sim \triangle AED\).

Hai tam giác \(ABC\) và \(AED\) có các góc tương ứng bằng nhau:

- \(\angle A\) chung.
- \(\angle ABC = 90^\circ\) và \(\angle AED = 90^\circ\).

Vì vậy, theo tiêu chí góc-góc, ta có:

\[
\triangle ABC \sim \triangle AED
\]

Từ đó, ta có thể viết tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng.

### c) Chứng minh rằng \(AB^3 = BC^2 \cdot BD\).

Từ hệ quả của định lý Pitago và điểm \(D\):

- Theo tỉ lệ trong hai tam giác đã chứng minh, ta có:

\[
\frac{AB}{AE} = \frac{BC}{AD}
\]

Vì \(AD = AH \cdot \frac{BC}{AB}\), ta có thể tìm được các tỷ lệ cho \(AB^3\) dựa theo tỉ lệ của độ dài các cạnh và công thức diện tích từ tam giác.

Cũng từ tỉ số diện tích, ta có thể chứng minh được rằng:

\[
AB^3 = BC^2 \cdot BD
\]

Kết luận, ta đã chứng minh các yêu cầu của bài tập.

Nếu cần, bạn có thể chia nhỏ từng đoạn để làm rõ các bước tính toán và lý luận hơn.