Để giải bài toán này, ta thực hiện theo từng phần nhé:

### a) Chứng minh tứ giác NAOB là hình vuông

1. **Tính độ dài các cạnh:**
- Cho O là tâm của đường tròn có bán kính 6 cm.
- Gọi OA = OB = 6 cm (bán kính của đường tròn).
- Từ (O), N nằm ngoài đường tròn sao cho NA và NB vuông góc với nhau tại N.
- Xét tam giác NAO và tam giác NBO: từ định nghĩa đường tiếp tuyến, OA ⊥ NA và OB ⊥ NB.

2. **Chứng minh AB = NA = NB:**
- Theo định lý Pitago trong tam giác vuông NAO và NBO, ta có:
\[
NA = \sqrt{ON^2 - OA^2} = \sqrt{ON^2 - 6^2}
\]
\[
NB = \sqrt{ON^2 - OB^2} = \sqrt{ON^2 - 6^2}
\]
- Chứng minh rằng NA = NB.

3. **Hình vuông:**
- Vì NA và NB vuông góc và có độ dài bằng nhau, suy ra NAOB là hình vuông.

### b) Chứng minh K là trung điểm của đoạn PQ

- Gọi P và Q là giao điểm của đường thẳng ON với đường tròn (O).
- Do K là trung điểm đoạn thẳng ON, nên K chia ON thành hai đoạn Ki = KO = KN.

### c) Chứng minh \(\triangle OKP \cong \triangle OAN\) và tính độ dài của PQ

1. **Tính độ dài PQ:**
- Bởi vì K là trung điểm ON, và do NA, NB vuông góc, ta có:
\[
\triangle OKP \cong \triangle OAN
\]
- Suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

2. **Tính độ dài PQ:**
- Sử dụng định lý Pitago hoặc tính chất của hình vuông NAOB để suy ra chiều dài của PQ.

Vì các góc của hình vuông và tính chất của đường tròn cho ta thông tin về độ dài, từ đó kết luận được.

### Kết luận:
- Đã chứng minh được rằng tứ giác NAOB là hình vuông, K là trung điểm của ON và định nghĩa được độ dài của PQ.