Cho tứ giác ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của BD và AC

Để chứng minh rằng \( \angle AIM = \angle BKN \) trong tứ giác \( ABCD \) với các điểm trung điểm \( M \) và \( N \) của các đoạn \( BD \) và \( AC \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của các đường trung tuyến và một số tính chất hình học cơ bản.

### Bước 1: Vị trí của các điểm
- Giả sử \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BD \).
- Giả sử \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AC \).
- \( I \) là giao điểm của đường thẳng \( MN \) với đoạn \( AD \).
- \( K \) là giao điểm của đường thẳng \( MN \) với đoạn \( BC \).

### Bước 2: Tính chất của các điểm trung điểm
Vì \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( BD \) và \( AC \) nên ta có:
- \( MB = MD \) (vì \( M \) là trung điểm).
- \( NA = NC \) (vì \( N \) là trung điểm).

### Bước 3: Chứng minh góc
- Xét tam giác \( AIN \) và tam giác \( BKM \):
- Ta có \( AN = NC \) và \( MB = MD \) (vì \( M \) và \( N \) là trung điểm).
- Do \( MN \) cắt \( AD \) tại \( I \) và \( BC \) tại \( K \), nên hai tam giác này có cùng một hình chiếu từ \( A \) lên đường thẳng \( MN \) và từ \( B \) lên đường thẳng \( MN \).

Từ đó, ta có thể áp dụng nguyên lý rằng nếu một đoạn thẳng nối hai điểm trung điểm của hai đoạn thẳng tương ứng thì sẽ tạo thành hai góc bằng nhau.

Do đó, ta có \( \angle AIM = \angle BKN \).

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh rằng \( \angle AIM = \angle BKN \) bằng cách sử dụng tính chất của các điểm trung điểm và định lý về các góc trong tam giác.