Để chứng minh các kết luận trong bài toán, ta sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác và định lý Pytago.

### a) Chứng minh rằng \( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \)

Từ định nghĩa của các tỉ số lượng giác, ta có:

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]
\[
\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
\]

Tích của \( \tan \alpha \) và \( \cot \alpha \) sẽ là:

\[
\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
\]

Kết quả sẽ là:

\[
\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \sin \alpha} = 1
\]

Vậy ta chứng minh được rằng \( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \).

### b) Chứng minh rằng \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Có thể chứng minh kết luận này bằng cách sử dụng định lý Pytago. Trong một tam giác vuông với góc nhọn \(\alpha\), đặt cạnh đối diện với góc \(\alpha\) là \(a\), cạnh kề là \(b\) và cạnh huyền là \(c\). Điều này cho ta:

\[
\sin \alpha = \frac{a}{c} \quad \text{và} \quad \cos \alpha = \frac{b}{c}
\]

Theo định lý Pytago, ta có:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

Thay các giá trị \(a\) và \(b\) vào phương trình trên, ta có:

\[
c^2 = (c \cdot \sin \alpha)^2 + (c \cdot \cos \alpha)^2
\]

Sắp xếp lại, ta được:

\[
c^2 = c^2 \cdot \sin^2 \alpha + c^2 \cdot \cos^2 \alpha
\]

Chia cả hai vế cho \(c^2\) (với \(c \neq 0\)):

\[
1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha
\]

Vậy ta chứng minh được rằng \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).