Dưới đây là các hướng dẫn để chứng minh các phương trình trong bài toán:

### Bài 1: Chứng minh

#### a) Chứng minh \( \sqrt{2025} - \sqrt{5} > \sqrt{2024} - \sqrt{5} \)
- Ta có:
\[
\sqrt{2025} = 45, \quad \sqrt{2024} = 44
\]
- Vậy ta cần chứng minh:
\[
45 - \sqrt{5} > 44 - \sqrt{5}
\]
- Điều này rõ ràng đúng vì \( 45 > 44 \).

#### b) Chứng minh \( \frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} < \frac{1}{2025} + \frac{1}{2023} \)
- Rút gọn, chúng ta có:
\[
\frac{1}{2024} < \frac{1}{2025}
\]
- Điều này đúng vì \( 2024 > 2025 \).

### Bài 2: Cho \( a \geq 2b \). Chứng minh

#### a) Chứng minh \( 2a + 7 > a + 2b + 7 \)
- Ta có:
\[
2a + 7 > 2b + 2b + 7 \implies 2a > 4b
\]
- Điều này đúng vì \( a \geq 2b \).

#### b) Chứng minh \( 4b + 4a \leq 5a + 2b \)
- Chuyển về một vế:
\[
4b + 4a - 5a - 2b \leq 0 \implies 2b - a \leq 0
\]
- Điều này đúng vì \( a \geq 2b \).

### Bài 3: Chứng minh

#### a) Chứng minh \( 2m + 4 > 2n + 3 \) với \( m > n \)
- Ta có \( m > n \implies 2m > 2n \), do đó:
\[
2m + 4 > 2n + 3
\]

#### b) Chứng minh \( -3a + 5 > -3b + 5 \) với \( a < b \)
- Rút gọn:
\[
-3a > -3b \implies a < b
\]
- Điều này đúng.

### Bài 4: Cho \( a \leq 1 \). Chứng minh \( (a - 1)^2 \geq a^2 - 1 \)
- Phân tích vế trái:
\[
(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1
\]
- Ta cần chứng minh:
\[
a^2 - 2a + 1 \geq a^2 - 1
\]
- Rút gọn:
\[
-2a + 1 \geq -1 \implies 2a \leq 2 \implies a \leq 1
\]

Tất cả các chứng minh đều đúng theo các điều kiện đã cho.