Để rút gọn biểu thức

\[
\frac{\sin \alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha}
\]

ta sẽ sử dụng một số công thức lượng giác.

### Bước 1: Rút gọn tử số

Sử dụng công thức hằng đẳng thức:

\[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
\]

thay vào trong tử số:

\[
\sin \alpha + \sin 2\alpha = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha)
\]

### Bước 2: Rút gọn mẫu số

Sử dụng công thức hằng đẳng thức:

\[
\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1
\]

dẫn đến:

\[
1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha = 1 + \cos \alpha + (2 \cos^2 \alpha - 1) = \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha
\]

Gọn lại:

\[
\cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha = \cos \alpha (1 + 2 \cos \alpha)
\]

### Bước 3: Thay lại vào biểu thức

Thay tử số và mẫu số vào biểu thức ban đầu:

\[
\frac{\sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha)}{\cos \alpha (1 + 2 \cos \alpha)}
\]

### Bước 4: Rút gọn

Nếu \(1 + 2 \cos \alpha \neq 0\), ta có thể rút gọn:

\[
\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha
\]

### Kết luận

Do đó, biểu thức rút gọn là:

\[
\tan \alpha
\] (khi \(1 + 2 \cos \alpha \neq 0\)).