Cho đa thức \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) \( (a, b, c \in \mathbb{R}) \). Biết \( f(x) \) chia cho \( (x + 1) \) dư \(-2\) và \( f(x) \) chia cho \( (x - 2) \) dư \(7\). Tính \( Q = (2024a + 2022b + c)^{2023} + 1 \)

Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng định lý phân cực cho đa thức. Theo đề bài, ta có các điều kiện sau:

1. \( f(-1) = -2 \)
2. \( f(2) = 7 \)

Chúng ta sẽ tìm ra các hệ số \( a, b, c \).

### Bước 1: Tính \( f(-1) \)
Tính giá trị của \( f(x) \) tại \( x = -1 \):

\[
f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 + a - b + c = -2
\]

Từ đó, ta có phương trình:

\[
a - b + c = -1 \quad \text{(1)}
\]

### Bước 2: Tính \( f(2) \)
Tính giá trị của \( f(x) \) tại \( x = 2 \):

\[
f(2) = 2^3 + a(2^2) + b(2) + c = 8 + 4a + 2b + c = 7
\]

Từ đó, ta có phương trình:

\[
4a + 2b + c = -1 \quad \text{(2)}
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình
Bây giờ chúng ta có 2 phương trình:

\[
\begin{aligned}
1. \quad & a - b + c = -1 \\
2. \quad & 4a + 2b + c = -1
\end{aligned}
\]

Chúng ta sẽ loại bỏ \( c \) bằng cách trừ phương trình (1) từ phương trình (2):

\[
(4a + 2b + c) - (a - b + c) = -1 - (-1)
\]

Đơn giản hóa:

\[
4a + 2b + c - a + b - c = 0 \implies 3a + 3b = 0 \implies a + b = 0
\]

Từ đây, suy ra:

\[
b = -a \quad \text{(3)}
\]

### Bước 4: Thay \( b \) vào phương trình (1)
Thay \( b = -a \) vào phương trình (1):

\[
a - (-a) + c = -1 \implies a + a + c = -1 \implies 2a + c = -1 \quad \text{(4)}
\]

### Bước 5: Thay \( b \) vào phương trình (2)
Thay \( b = -a \) vào phương trình (2):

\[
4a + 2(-a) + c = -1 \implies 4a - 2a + c = -1 \implies 2a + c = -1
\]

Phương trình này trùng với (4), không cung cấp thêm thông tin. Giờ ta có \( c = -1 - 2a \).

### Bước 6: Tính \( Q = (2024a + 2022b + c)^{2023} + 1 \)

Thay \( b \) và \( c \) vào:

\[
2024a + 2022(-a) + (-1 - 2a) = 2024a - 2022a - 1 - 2a
\]
\[
= 0a - 1 = -1
\]

### Kết quả:
\[
Q = (-1)^{2023} + 1 = -1 + 1 = 0
\]

Vậy giá trị của \( Q \) là:

\[
\boxed{0}
\]