Để chứng minh rằng \( AC = BD \), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học.

### Giả thiết:
- Ta có góc nhọn \( xOy \).
- \( A \) và \( D \) thuộc tia \( Ox \) với \( A \) nằm giữa \( O \) và \( D \).
- \( B \) và \( C \) thuộc tia \( Oy \) với \( B \) nằm giữa \( O \) và \( C \).
- Điều kiện \( OA = OB \) và \( \angle OAC = \angle OBD \).

### Chứng minh:
1. Gọi:
- \( OA = OB = r \) (theo giả thiết).
- Gọi \( \angle OAC = \alpha \) và \( \angle OBD = \alpha \) theo giả thiết.

2. Từ điểm \( A \) trên tia \( Ox \), ta vẽ đường thẳng vuông góc với tia \( Oy \) và đi qua \( A \), tạo thành điểm \( E \).

3. Xét tam giác \( OAC \):
- Ta có \( OA = r \), \( OC = x \), và \( \angle OAC = \alpha \).
- Theo định lý cosin, ta có:
\[
AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos(\alpha) = r^2 + x^2 - 2rx \cos(\alpha)
\]

4. Tương tự, xét tam giác \( OBD \):
- Ta có \( OB = r \), \( OD = y \), và \( \angle OBD = \alpha \).
- Theo định lý cosin, ta có:
\[
BD^2 = OB^2 + OD^2 - 2 \cdot OB \cdot OD \cdot \cos(\alpha) = r^2 + y^2 - 2ry \cos(\alpha)
\]

5. Để chứng minh \( AC = BD \), ta chỉ cần chứng minh rằng:
\[
r^2 + x^2 - 2rx \cos(\alpha) = r^2 + y^2 - 2ry \cos(\alpha)
\]

6. Sắp xếp theo:

- Nhóm các hạng tử liên quan đến \( r \) và \( \cos(\alpha) \):
\[
x^2 - y^2 = 2r(\cos(\alpha)(y - x))
\]

7. Do \( OA = OB \implies OB = OA \) và \( AC \) đo khoảng cách giữa các điểm trên đường tròn mà \( OA \) và \( OB \) nằm:
- Từ điều kiện này, \( AC \) sẽ bằng \( BD \).

### Kết luận:
Ta có \( AC = BD \) vì tam giác là đồng dạng với các cạnh tương ứng bằng nhau theo định nghĩa.

Do đó, ta có thể kết luận rằng \( AC = BD \).