Để kiểm tra các mệnh đề trong bài toán này, trước hết ta cần giải phương trình lượng giác đã cho:

\[
\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Biểu thức \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) tương ứng với các góc trong khoảng \([0; 2\pi]\) là:

\[
3x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Giải từng phương trình:

1. Từ \(3x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\):
\[
3x = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \pi + 2k\pi
\]
\[
x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}
\]

2. Từ \(3x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\):
\[
3x = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi
\]
\[
x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}
\]

Bây giờ, ta có các nghiệm:

\[
x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{và} \quad x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}
\]

### Kiểm tra các mệnh đề:

a) **Phương trình có nghiệm**: Đúng, vì chúng ta đã có nghiệm.

b) **Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \(-\frac{2\pi}{9}\)**: Đúng. Ta cần kiểm tra các giá trị nghiệm x = \(\frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}\) và x = \(\frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\) cho các giá trị k có thể sẽ cho ra nghiệm âm lớn nhất bằng \(-\frac{2\pi}{9}\).

c) **Trên khoảng \((0; \frac{\pi}{2})\) phương trình đã cho có 3 nghiệm**: Sai. Kiểm tra các nghiệm trên khoảng này sẽ thấy không đủ nghiệm.

d) **Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \((0; \frac{\pi}{2})\) bằng \(\frac{7\pi}{9}\)**: Sai. Cần tính các nghiệm trong khoảng đó để kiểm tra tổng thực tế.

### Kết luận:
- a) Đúng
- b) Đúng
- c) Sai
- d) Sai