Để tìm ba chữ số tận cùng của số \( 2^{512} \), chúng ta cần tính giá trị của \( 2^{512} \mod 1000 \).

Chúng ta sẽ sử dụng định lý Trung bình cộng - Bảng (Chinese Remainder Theorem) bằng cách tìm \( 2^{512} \mod 8 \) và \( 2^{512} \mod 125 \), sau đó kết hợp các kết quả này.

1. **Tính \( 2^{512} \mod 8 \)**:
\[
2^{512} \equiv 0 \mod 8
\]

2. **Tính \( 2^{512} \mod 125 \)**:
Để tính \( 2^{512} \mod 125 \), chúng ta sử dụng định lý Euler. Đầu tiên chúng ta tính \( \phi(125) \):
\[
\phi(125) = 125 \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 125 \cdot \frac{4}{5} = 100
\]
Theo định lý Euler:
\[
2^{100} \equiv 1 \mod 125
\]
Bây giờ, ta cần tính \( 512 \mod 100 \):
\[
512 \div 100 = 5 \text{ (số nguyên phần)} \implies 512 \mod 100 = 12
\]
Vì vậy:
\[
2^{512} \equiv 2^{12} \mod 125
\]

Tiếp theo, ta tính \( 2^{12} \):
\[
2^1 = 2 \\
2^2 = 4 \\
2^3 = 8 \\
2^4 = 16 \\
2^5 = 32 \\
2^6 = 64 \\
2^7 = 128 \equiv 3 \mod 125 \\
2^8 = 256 \equiv 6 \mod 125 \\
2^9 = 2 \cdot 2^8 = 2 \cdot 6 = 12 \mod 125 \\
2^{10} = 2 \cdot 2^9 = 2 \cdot 12 = 24 \mod 125 \\
2^{11} = 2 \cdot 2^{10} = 2 \cdot 24 = 48 \mod 125 \\
2^{12} = 2 \cdot 2^{11} = 2 \cdot 48 = 96 \mod 125
\]

3. **Kết hợp kết quả**:
Chúng ta có hai kết quả:
\[
2^{512} \equiv 0 \mod 8
\]
\[
2^{512} \equiv 96 \mod 125
\]

Bây giờ, chúng ta giải hệ phương trình:
\[
x \equiv 0 \mod 8
\]
\[
x \equiv 96 \mod 125
\]

Bây giờ, đặt \( x = 125k + 96 \) (với \( k \) là số nguyên) và thay vào phương trình thứ nhất:
\[
125k + 96 \equiv 0 \mod 8
\]

Tính \( 125 \mod 8 \):
\[
125 \equiv 5 \mod 8
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
5k + 96 \equiv 0 \mod 8
\]

Tính \( 96 \mod 8 \):
\[
96 \equiv 0 \mod 8
\]
Vậy ta có:
\[
5k \equiv 0 \mod 8
\]

Tìm \( k \):
Để \( 5k \equiv 0 \mod 8 \), \( k \) phải là bội số của 8 vì 5 và 8 là nguyên tố cùng nhau. Do đó, \( k = 8m \) cho một số nguyên \( m \), và từ đó:
\[
x = 125(8m) + 96 = 1000m + 96
\]

Điều này có nghĩa là:
\[
x \equiv 96 \mod 1000
\]

Vậy ba chữ số tận cùng của \( 2^{512} \) là:

\[
\boxed{096}
\]