Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ áp dụng một số định lý và tính chất hình học cơ bản.

### a) Chứng minh ΔHBF đồng dạng ΔHCE

- Ta có: BE và CF là hai đường cao của tam giác nhọn ABC, cắt nhau tại H.
- Trong hai tam giác HBF và HCE, ta có:
+ Góc HBF = góc HCE (góc chung)
+ Góc HBF + góc BHF = 90° (góc vuông tại B)
+ Góc HCE + góc ECH = 90° (góc vuông tại C)

Vậy từ đó, theo tiêu chí góc-góc-góc (g-g-g), ta có ΔHBF ~ ΔHCE.

### b) Chứng minh AB^2 = AM * AD

- Xét đường thẳng a qua B song song với CF.
- Sử dụng định lý Thales trong tam giác ABC với đường thẳng a cắt BC tại M, ta có:
+ ΔABM ~ ΔCFE (góc BMF = góc CFE và BT = CE)
- Từ đó suy ra: \(\frac{AB}{AM} = \frac{CF}{CE}\), tương tự cho ΔADF ta có \(\frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AE}\).

Cần chứng minh: \(AB^2 = AM \cdot AD\)

Sử dụng định lý về tỉ số: \((AB)(AC) = (AM)(AD)\), suy ra \(AB^2 = AM \cdot AD\).

### c) Chứng minh rằng AB . AC = BE . CF + AE . AF

- Ta có:
+ AB . AC = AM (AD) (từ phần b)
+ BE . CF = AF . AE (tính chất đường cao)

Khi đó, tổng hợp lại,
\[AB · AC = BE · CF + AE · AF\]

**Kết luận**: Các phần chứng minh đã được thực hiện theo yêu cầu bài toán, sử dụng các tính chất hình học và định lý cơ bản về đồng dạng trong tam giác.