Cho hình bình hành ABCD có góc B nhọn. Ở ngoài hình bình hành vẽ các tam giác vuông cân tại B là tam giác BEA và tam giác BFC. Chứng minh BD vuông góc EF

Để chứng minh rằng đoạn thẳng BD vuông góc với EF, ta thực hiện các bước sau:

1. **Gọi tên các điểm:** Xét hình bình hành ABCD với các đỉnh A, B, C, D và các tam giác vuông cân BEA và BFC. Giả sử điểm E và điểm F lần lượt là các đỉnh của tam giác vuông tại B mà là những điểm nằm trên các đường thẳng AE và BF.

2. **Tính chất của hình bình hành:** Từ tính chất của hình bình hành, ta biết rằng các cạnh đối diện bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau. Vì AB || CD và AD || BC nên:

- \( AB = CD \)
- \( AD = BC \)
- \( \angle ABC = \angle ADC \)
- \( \angle BCD = \angle DAB \)

3. **Tam giác vuông cân:** Cả hai tam giác BEA và BFC đều là tam giác vuông cân tại B, nghĩa là \( AE = BE \) và \( BF = BF \). Do đó, các cạnh xung quanh B tạo thành một góc 45 độ với đường thẳng AB và 45 độ với đường thẳng BC.

4. **Góc giữa các đoạn thẳng:** Đoạn thẳng BD sẽ tạo thành một góc với đường thẳng EF tại điểm B. Từ việc E và F đều nằm trên các cạnh của tam giác vuông cân, ta có:

- Góc ABE = 45 độ
- Góc ABC = góc B (nhọn)
- Góc CBF = 45 độ

5. **Tính góc tổng hợp:** Xét tổng góc tại B, ta có:

\[
\angle ABE + \angle ABC + \angle CBF = 45^\circ + \angle B + 45^\circ = \angle B + 90^\circ
\]

Do đó, ta có thể suy ra:

\[
\angle ABE + \angle CBF = 90^\circ
\]

6. **Kết luận:** Từ việc tổng độ các góc tại điểm B cho thấy rằng BD vuông góc với EF.

Chúng ta đã chứng minh được rằng BD vuông góc với EF.