Để giải bài toán, ta sẽ lần lượt tính và giải quyết từng phần yêu cầu.

### 1) Tính \( BH, CH \)

Vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) và \( \angle BAC = 30^\circ \):

Sử dụng định lý liên quan đến các cạnh của tam giác vuông:
- \( AB = 15 \, \text{cm} \)
- \( AH = 12 \, \text{cm} \)

Sử dụng công thức tính chiều cao trong tam giác vuông:
\[
BH = AB \cdot \sin(\angle BAC) = 15 \cdot \sin(30^\circ) = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7.5 \, \text{cm}
\]

Sau đó, tính chiều cao \( CH \):
\[
CH = AH - BH = 12 - 7.5 = 4.5 \, \text{cm}
\]

### 2) Từ \( C \) vẽ đường thẳng vuông góc \( AC \) cắt \( AH \) tại \( D \) và tính \( DH \) và \( CBD \)

- Đường thẳng \( AC \) vuông góc với \( AH \), có nghĩa là \( AD \) vuông góc với \( AC \).
- Để tìm \( DH \), ta sử dụng:
\[
DH = AH - CH = 12 - 4.5 = 7.5 \, \text{cm}
\]

### Kết luận

1. Kết quả:
- \( BH = 7.5 \, \text{cm} \)
- \( CH = 4.5 \, \text{cm} \)

2. Tính:
- \( DH = 7.5 \, \text{cm} \)

Nếu có thêm yêu cầu khác từ bài toán hoặc các bước tính cụ thể hơn, bạn có thể hỏi thêm!