Cho hình thang ABCD (AB//CD). Tia phân giác các góc A và D cắt nhau tại M. Chứng minh rằng AM ⊥ DM

Để chứng minh rằng AM ⊥ DM trong hình thang ABCD (AB // CD), ta thực hiện các bước sau:

1. **Kí hiệu góc**: Gọi góc ∠A = α, góc ∠D = β. Do AB // CD nên góc ∠B = 180° - α và góc ∠C = 180° - β.

2. **Sử dụng tính chất của tia phân giác**: Tia phân giác AM của góc A và tia phân giác DM của góc D cắt nhau tại điểm M. Theo tính chất của tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AD} = \frac{AM}{AD} \quad \text{và} \quad \frac{CD}{BC} = \frac{DM}{BC}
\]

3. **Xét tam giác**: Trong tam giác AMD, ta có:
- ∠AMM = α/2 (góc A bị chia)
- ∠DMM = β/2 (góc D bị chia)

4. **Tính chất tổng góc**: Do hai đường thẳng AM và DM giao nhau tại M, ta có:
\[
\angle AMD = \angle AMB + \angle DMC = \frac{α}{2} + \frac{β}{2}
\]
Mặt khác, từ tính chất của hình thang, ta biết rằng α + β = 180°. Vậy:
\[
\angle AMD = \frac{α + β}{2} = \frac{180°}{2} = 90°
\]

5. **Kết luận**: Từ kết quả trên, ta có thể kết luận rằng AM ⊥ DM, tức là AM vuông góc với DM.

Vậy, ta đã chứng minh rằng tia AM vuông góc với tia DM.