Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lập hệ phương trình dựa trên các thông tin đã cho.

Bước 1: Đặt biến
- Gọi chiều dài của mảnh vườn là \( l \) (m).
- Gọi chiều rộng của mảnh vườn là \( w \) (m).

Bước 2: Thiết lập các phương trình
1. Từ thông tin về chu vi:
\[
2l + 2w = 56
\]
Rút gọn phương trình này, ta được:
\[
l + w = 28 \quad \text{(1)}
\]

2. Từ thông tin về diện tích:
- Diện tích ban đầu của mảnh vườn là \( S = l \times w \).
- Nếu tăng chiều dài 6m và giảm chiều rộng 3m, thì diện tích mới sẽ là:
\[
S' = (l + 6)(w - 3)
\]
Theo đề bài, diện tích mới tăng lên 15 m², nên:
\[
S' = S + 15
\]
Thay \( S \) và \( S' \) vào phương trình trên, ta có:
\[
(l + 6)(w - 3) = lw + 15
\]

Bước 3: Phát triển phương trình diện tích
Giải phương trình này:
\[
lw + 6w - 3l - 18 = lw + 15
\]

Bây giờ, bỏ \( lw \) ở cả hai phía:
\[
6w - 3l - 18 = 15
\]

Thay đổi phương trình để đơn giản hơn:
\[
6w - 3l = 33
\]
Chia cả hai vế cho 3:
\[
2w - l = 11 \quad \text{(2)}
\]

Bước 4: Giải hệ phương trình (1) và (2)
Chúng ta có hai phương trình:
1. \( l + w = 28 \)
2. \( 2w - l = 11 \)

Từ phương trình (1), biểu diễn \( l \) theo \( w \):
\[
l = 28 - w
\]

Thay vào phương trình (2):
\[
2w - (28 - w) = 11
\]
Giải phương trình này:
\[
2w - 28 + w = 11
\]
\[
3w - 28 = 11
\]
\[
3w = 39
\]
\[
w = 13
\]

Thay \( w \) vào phương trình (1) để tìm \( l \):
\[
l + 13 = 28
\]
\[
l = 15
\]

Bước 5: Tính diện tích mảnh vườn
Diện tích \( S \) của mảnh vườn là:
\[
S = l \times w = 15 \times 13 = 195 \text{ m}^2
\]

Kết luận: Diện tích mảnh vườn là 195 m².