Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B trong các trường hợp

Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho đa thức \( A \) chia hết cho đơn thức \( B \) trong các trường hợp được cho, ta cần phân tích từng trường hợp.

### a)
**Đa thức:**
\[ A = \frac{12}{5} x^5 y^7 + 5 x^4 y^7 - \frac{2}{3} x^3 y^2 \]
**Đơn thức:**
\[ B = 3 x^n y \]

Để \( A \) chia hết cho \( B \), ta cần mỗi hạng tử của \( A \) phải có ít nhất bằng bậc của \( B \).

- Hạng tử 1: \( \frac{12}{5} x^5 y^7 \) có bậc \( x^5 y^7 \) (bậc 5 về \( x \), 7 về \( y \))
- Hạng tử 2: \( 5 x^4 y^7 \) có bậc \( x^4 y^7 \) (bậc 4 về \( x \), 7 về \( y \))
- Hạng tử 3: \( -\frac{2}{3} x^3 y^2 \) có bậc \( x^3 y^2 \) (bậc 3 về \( x \), 2 về \( y \))

Để \( A \) chia hết cho \( B \), điều kiện là:
\[
n \leq 3 \quad \text{(bậc thấp nhất của } A \text{ là 3 về } x\text{)}
\]

### b)
**Đa thức:**
\[ A = -2 x^3 y^4 + 3 x^2 y^2 + 5 y^1 \]
**Đơn thức:**
\[ B = x y \]

Ta cần xem xét các hạng tử của \( A \):

- Hạng tử 1: \( -2 x^3 y^4 \) (bậc 3 về \( x \), 4 về \( y \))
- Hạng tử 2: \( 3 x^2 y^2 \) (bậc 2 về \( x \), 2 về \( y \))
- Hạng tử 3: \( 5 y^1 \) (không có \( x \), tức là bậc 0 về \( x \))

Điều kiện:
\[
n \leq 0 \quad \text{(bậc thấp nhất là 0)}
\]

### c)
**Đa thức:**
\[ A = \frac{5}{6} x^6 y^4 - 3 x^3 y^3 + \frac{7}{2} x^2 y^1 \]
**Đơn thức:**
\[ B = \frac{1}{2} (x y)^n \]

Ta phân tích:

- Hạng tử 1: \( \frac{5}{6} x^6 y^4 \) (bậc 6 về \( x \), 4 về \( y \))
- Hạng tử 2: \( -3 x^3 y^3 \) (bậc 3 về \( x \), 3 về \( y \))
- Hạng tử 3: \( \frac{7}{2} x^2 y^1 \) (bậc 2 về \( x \), 1 về \( y \))

Tổng bậc của \( B \) là \( n + n \) (hoặc \( 2n \)). Để \( A \) chia hết cho \( B \), ta có điều kiện là:
\[
2n \leq 1 \quad \text{(bậc thấp nhất là 1)}
\]
Điều này dẫn đến \( n \leq \frac{1}{2} \).

### Tóm tắt
- **(a)** \( n \leq 3 \)
- **(b)** \( n \leq 0 \)
- **(c)** \( n \leq \frac{1}{2} \)

Trong các trường hợp này, \( n \) phải là số tự nhiên, do đó:

- **(a)**: \( n = 0, 1, 2, 3 \)
- **(b)**: \( n = 0 \)
- **(c)**: không có \( n \) vì không có số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng \( \frac{1}{2} \).